(1) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、xの変域が $a \le x \le 4$ のとき、yの変域が $-9 \le y \le b$ である。$a, b$ の値を求めなさい。 (2) 2つの放物線 $y = x^2, y = 4x^2$ 上の x 座標が $a$ である点をそれぞれ A, B とすると、AB = 27 となる。$a > 0$ であるとき、$a$ の値を求めなさい。 (3) y は x の 2 乗に比例する関数で、x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が 6 である。この関数の式を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ において、xの変域が $a \le x \le 4$ のとき、yの変域が $-9 \le y \le b$ である。$a, b$ の値を求めなさい。

(2) 2つの放物線 $y = x^2, y = 4x^2$ 上の x 座標が $a$ である点をそれぞれ A, B とすると、AB = 27 となる。$a > 0$ であるとき、$a$ の値を求めなさい。

(3) y は x の 2 乗に比例する関数で、x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が 6 である。この関数の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ は上に凸である。$x = 4$ のとき $y = -\frac{1}{2}(4^2) = -8$。

y の変域が $-9 \le y \le b$ なので、$y$ の最小値は $-9$ であり、$a \le x \le 4$ の範囲で $y = -9$ となる $x$ が $a$ である。

$y = -9$ を $y = -\frac{1}{2}x^2$ に代入すると、

$-9 = -\frac{1}{2}x^2$

$x^2 = 18$

$x = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$

$a \le x \le 4$ より、$a = -3\sqrt{2}$ である。

また、$x = 0$ のとき $y = 0$ であり、$x = 4$ のとき $y = -8$ であるため、$y$ の最大値は $0$ となる。よって $b = 0$。

(2)

点 A の座標は $(a, a^2)$、点 B の座標は $(a, 4a^2)$ である。

AB = 27 より、$|4a^2 - a^2| = 27$。

$|3a^2| = 27$

$3a^2 = 27$ ($a>0$ より、$3a^2 = -27$ は不適)

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a > 0$ より、$a = 3$ である。

(3)

y は x の 2 乗に比例する関数なので、$y = ax^2$ と表せる。

x が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合は 6 であるから、

$\frac{a(4^2) - a(2^2)}{4 - 2} = 6$

$\frac{16a - 4a}{2} = 6$

$\frac{12a}{2} = 6$

$6a = 6$

$a = 1$

よって、$y = x^2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3\sqrt{2}$, $b = 0$

(2) $a = 3$

(3) $y = x^2$