(1) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ について、$x$ の変域が $a \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域は $-9 \le y \le b$ である。$a$, $b$ の値を求めよ。 (2) 2つの放物線 $y = x^2$, $y = 4x^2$ 上の $x$ 座標が $a$ である点をそれぞれ A, B とすると, AB = 27 となる。$a > 0$ であるとき, $a$ の値を求めよ。 (3) $y$ は $x$ の2乗に比例する関数で、$x$ の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が 6 である。この関数の式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -\frac{1}{2}x^2$ について、$x$ の変域が $a \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域は $-9 \le y \le b$ である。$a$, $b$ の値を求めよ。

(2) 2つの放物線 $y = x^2$, $y = 4x^2$ 上の $x$ 座標が $a$ である点をそれぞれ A, B とすると, AB = 27 となる。$a > 0$ であるとき, $a$ の値を求めよ。

(3) $y$ は $x$ の2乗に比例する関数で、$x$ の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が 6 である。この関数の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = -\frac{1}{2}x^2$ は上に凸の放物線である。$x$ の変域が $a \le x \le 4$ のとき、$y$ の変域が $-9 \le y \le b$ である。

$x=4$ のとき $y = -\frac{1}{2} \cdot 4^2 = -\frac{1}{2} \cdot 16 = -8$

$x=a$ のとき $y = -\frac{1}{2}a^2$

$y$ の最小値は -9 なので、頂点を含み、$x=a$ のとき $y=-9$ となる場合と、$x=4$のとき、$y=-9$となる場合が考えられる。$x=0$のとき、$y=0$であるため、$y$の変域が$-9\leq y \leq b$となることから、$a \leq 0 \leq 4$となる。

$-\frac{1}{2}a^2 = -9$

$a^2 = 18$

$a = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$

$a \le 4$ より、$a = -3\sqrt{2}$

$x = 0$ のとき、$y = 0$ が最大値なので、$b = 0$

(2)

点 A の座標は $(a, a^2)$, 点 B の座標は $(a, 4a^2)$ である。

$AB = |4a^2 - a^2| = |3a^2| = 3a^2 = 27$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a > 0$ より、$a = 3$

(3)

$y$ は $x$ の2乗に比例する関数なので、$y = ax^2$ とおく。

変化の割合は $\frac{yの増加量}{xの増加量}$ である。

$x$ が 2 から 4 まで増加するとき、$y$ は $a(4^2) - a(2^2) = 16a - 4a = 12a$ だけ増加する。

$x$ の増加量は $4-2=2$ である。

変化の割合は $\frac{12a}{2} = 6a = 6$

$a = 1$

よって、$y = x^2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3\sqrt{2}$, $b = -8$

(2) $a = 3$

(3) $y = x^2$

(1) $a = -3\sqrt{2}$ $b = -8$

(2) $a = 3$

(3) $y = x^2$