2次関数 $f(x) = x^2 + 4ax + 6a^2 + 5a + 2$ が与えられている。 (1) $y = f(x)$ のグラフが常に $x$ 軸より上方にあるとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分で、異なる2点で交わるとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 + 4ax + 6a^2 + 5a + 2$ が与えられている。

(1) $y = f(x)$ のグラフが常に $x$ 軸より上方にあるとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分で、異なる2点で交わるとき、$a$ の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(x)$ のグラフが常に $x$ 軸より上方にあるのは、グラフが $x$ 軸と交わらないとき、つまり判別式 $D < 0$ のときである。

$f(x) = x^2 + 4ax + 6a^2 + 5a + 2$ の判別式 $D$ は

$D = (4a)^2 - 4(6a^2 + 5a + 2) = 16a^2 - 24a^2 - 20a - 8 = -8a^2 - 20a - 8$

$D < 0$ より、

$-8a^2 - 20a - 8 < 0$

$8a^2 + 20a + 8 > 0$

$2a^2 + 5a + 2 > 0$

$(2a + 1)(a + 2) > 0$

よって、$a < -2$ または $a > -\frac{1}{2}$

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸の正の部分で異なる2点で交わる条件は、次の3つである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $x = -2a > 0$

(iii) $f(0) > 0$

(i) 判別式 $D > 0$ より、(1) と同様に計算して

$(2a + 1)(a + 2) < 0$

$-2 < a < -\frac{1}{2}$

(ii) 軸の位置 $-2a > 0$ より、$a < 0$

(iii) $f(0) = 6a^2 + 5a + 2 > 0$

$6a^2 + 5a + 2 = 0$ の判別式は $5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 25 - 48 = -23 < 0$ より、

$6a^2 + 5a + 2 > 0$ はすべての $a$ で成り立つ。

(i), (ii), (iii) の条件をすべて満たす $a$ の範囲は、$-2 < a < -\frac{1}{2}$ かつ $a < 0$ より、

$-2 < a < -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a < -2$ または $a > -\frac{1}{2}$

(2) $-2 < a < -\frac{1}{2}$