2次方程式 $x^2 - ax + 4 = 0$ について、以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) 2つの解の間に3がある。 (2) 1つの解が1より小さく、他の解が2より大きい。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 4 = 0$ について、以下の2つの条件を満たす定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) 2つの解の間に3がある。

(2) 1つの解が1より小さく、他の解が2より大きい。

2. 解き方の手順

(1) 2つの解の間に3がある場合

$f(x) = x^2 - ax + 4$ とおきます。2つの解の間に3があるということは、$f(3) < 0$ が成り立つことと同値です。

$f(3) = 3^2 - a(3) + 4 = 9 - 3a + 4 = 13 - 3a < 0$

したがって、

$3a > 13$

$a > \frac{13}{3}$

(2) 1つの解が1より小さく、他の解が2より大きい場合

$f(x) = x^2 - ax + 4$ とおきます。1つの解が1より小さく、他の解が2より大きいということは、$f(1) < 0$ かつ $f(2) < 0$ が成り立つことと同値です。

$f(1) = 1^2 - a(1) + 4 = 1 - a + 4 = 5 - a < 0$

$f(2) = 2^2 - a(2) + 4 = 4 - 2a + 4 = 8 - 2a < 0$

したがって、

$a > 5$

$2a > 8$

$a > 4$

$a > 5$ と $a > 4$ を両方満たすのは $a > 5$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a > \frac{13}{3}$

(2) $a > 5$