$k$ は定数とする。方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ の異なる実数解の個数を調べよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$k$ は定数とする。方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ の異なる実数解の個数を調べよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $|x^2 - x - 2| = 2x + k$ を変形して、$y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を調べる問題に帰着させる。

まず、$y = x^2 - x - 2$ のグラフを考える。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ より、$x^2 - x - 2 = 0$ の解は $x = -1, 2$ である。

よって、$y = x^2 - x - 2$ のグラフは $x$ 軸と $x = -1$ と $x = 2$ で交わる。

$y = |x^2 - x - 2| - 2x$ を場合分けして考える。

(i) $x \leq -1$ または $x \geq 2$ のとき、

$y = x^2 - x - 2 - 2x = x^2 - 3x - 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$

(ii) $-1 < x < 2$ のとき、

$y = -(x^2 - x - 2) - 2x = -x^2 - x + 2 = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

したがって、$y = |x^2 - x - 2| - 2x$ のグラフを描画し、直線 $y = k$ との共有点の個数を調べる。

(i) の場合、$x \leq -1$ では、$y = x^2 - 3x - 2$ であり、$x = -1$ のとき、$y = 1 + 3 - 2 = 2$。

$x \geq 2$ では、$y = x^2 - 3x - 2$ であり、$x = 2$ のとき、$y = 4 - 6 - 2 = -4$。

(ii) の場合、$-1 < x < 2$ では、$y = -x^2 - x + 2$ であり、$x = -1$ のとき、$y = -1 + 1 + 2 = 2$。$x = 2$ のとき、$y = -4 - 2 + 2 = -4$。

頂点は $(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ である。

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}$ の頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{17}{4})$ であるが、$\frac{3}{2}$ は$x \leq -1$ または $x \geq 2$ の範囲にないため、この頂点は考慮する必要がない。

グラフより、

$k < -4$ のとき、共有点は0個。

$k = -4$ のとき、共有点は1個。

$-4 < k < 2$ のとき、共有点は2個。

$k = 2$ のとき、共有点は3個。

$2 < k < \frac{9}{4}$ のとき、共有点は4個。

$k = \frac{9}{4}$ のとき、共有点は3個。

$k > \frac{9}{4}$ のとき、共有点は2個。

3. 最終的な答え

$k < -4$ のとき、0個

$k = -4$ のとき、1個

$-4 < k < 2$ のとき、2個

$k = 2$ のとき、3個

$2 < k < \frac{9}{4}$ のとき、4個

$k = \frac{9}{4}$ のとき、3個

$k > \frac{9}{4}$ のとき、2個