サイコロを3回振って、出た目の合計が14になる場合の数を求める問題です。

1. 問題の内容

サイコロを3回振って、出た目の合計が14になる場合の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

サイコロの各回の出目を$x, y, z$とします。

$x, y, z$ はそれぞれ1から6までの整数であり、以下の条件を満たす必要があります。

$x + y + z = 14$

$1 \le x \le 6$

$1 \le y \le 6$

$1 \le z \le 6$

まず、$x', y', z'$ を $x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$ と定義すると、$x', y', z'$ は0から5までの整数となり、

$x' + y' + z' = x + y + z - 3 = 14 - 3 = 11$

$0 \le x' \le 5$

$0 \le y' \le 5$

$0 \le z' \le 5$

$x' + y' + z' = 11$ の非負整数解の数を求めます。制約がない場合、解の数は重複組み合わせで計算でき、$_{11+3-1}C_{3-1} = _{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ となります。

次に、$x', y', z'$ が5を超えてしまう場合を除きます。

- $x' \ge 6$ の場合: $x'' = x' - 6$ とすると、$x'' + y' + z' = 11 - 6 = 5$ となり、解の数は $_{5+3-1}C_{3-1} = _7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$。

- $y' \ge 6$ の場合も同様に21通り。

- $z' \ge 6$ の場合も同様に21通り。

したがって、 $21 \times 3 = 63$ 通りを引きます。

さらに、$x' \ge 6$ かつ $y' \ge 6$ の場合: $x'' = x' - 6, y'' = y' - 6$ とすると、$x'' + y'' + z' = 11 - 12 = -1$ となり、解は存在しません。同様に、$x' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$の場合、$y' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$ の場合も解は存在しません。

したがって、求める解の数は $78 - 63 = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

15通り