長方形が5つの部分（ア、イ、ウ、エ、オ）に分割されています。赤、青、緑、黒、黄色の5色を使って、隣り合う部分が同じ色にならないように塗り分ける方法は何通りあるかという問題です。使わない色があっても良いこととします。

1. 問題の内容

長方形が5つの部分（ア、イ、ウ、エ、オ）に分割されています。赤、青、緑、黒、黄色の5色を使って、隣り合う部分が同じ色にならないように塗り分ける方法は何通りあるかという問題です。使わない色があっても良いこととします。

2. 解き方の手順

塗り分けの問題は、隣り合う部分の色を考慮しながら、順に塗り方を決めていくのが基本です。

* **ステップ1：** まず、ア の部分の塗り方を考えます。5色の中から自由に選べるので、5通りの塗り方があります。

* **ステップ2：** 次に、イ の部分の塗り方を考えます。イ は ア と隣り合っているので、ア で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、イ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ3：** ウ の部分の塗り方を考えます。ウ は ア と イ の両方に隣り合っているので、ア と イ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、ウ の塗り方は 3 通りです。

* **ステップ4：** エ の部分の塗り方を考えます。エ は ア と ウ の両方に隣り合っているので、ア と ウ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、エ の塗り方は 3 通りです。

* **ステップ5：** オ の部分の塗り方を考えます。オ は ウ と エ の両方に隣り合っているので、ウ と エ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、オ の塗り方を考えます。

* もし、エの色がイの色と同じだった場合、オはウの色と違う色であれば良く、4通りの塗り方があります。

* もし、エの色がイの色と違う場合、オはウ、エと違う色であれば良く、3通りの塗り方があります。

このように場合分けが発生してしまうため、上記の手順では正しく塗り分け方を計算できません。

別の塗り方で考えます。

* **ステップ1：** まず、ウ の部分の塗り方を考えます。5色の中から自由に選べるので、5通りの塗り方があります。

* **ステップ2：** 次に、ア の部分の塗り方を考えます。ア は ウ と隣り合っているので、ウ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、ア の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ3：** 次に、イ の部分の塗り方を考えます。イ は ウ と隣り合っているので、ウ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、イ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ4：** 次に、エ の部分の塗り方を考えます。エ は ウ と隣り合っているので、ウ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、エ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ5：** 最後に、オ の部分の塗り方を考えます。オ は エ と隣り合っているので、エ で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、オ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ6：**ただし、上記のやり方だと、アとエの色が同じになる場合と、アとエの色が異なる場合で、イとオの色の組み合わせが変わってきます。そのため、単純に掛け合わせることはできません。

さらに別の塗り方を考えます。

* **ステップ1：** まず、ア の部分の塗り方を考えます。5色の中から自由に選べるので、5通りの塗り方があります。

* **ステップ2：** 次に、イ の部分の塗り方を考えます。イ は ア と隣り合っているので、ア で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、イ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ3：** 次に、エ の部分の塗り方を考えます。エ は ア と隣り合っているので、ア で塗った色以外の色で塗る必要があります。したがって、エ の塗り方は 4 通りです。

* **ステップ4：** 次に、ウ の部分の塗り方を考えます。ウ は ア、イ、エ と隣り合っているので、ア、イ、エ で塗った色以外の色で塗る必要があります。ここで場合分けが発生します。

* **場合1：イとエの色が異なる場合**

この場合、ア、イ、エ の3色が異なるため、ウ は残り2色から選ぶことになり、2通りの塗り方があります。

* **場合2：イとエの色が同じ場合**

この場合、ア、イ の2色が異なるため、ウ は残り3色から選ぶことになり、3通りの塗り方があります。

* **ステップ5：** 最後に、オ の部分の塗り方を考えます。オ は ウ と エ に隣り合っているので、ウ と エ で塗った色以外の色で塗る必要があります。ここで、ウの色が決まっているので、オ の塗り方は4通りです。

**ステップ6：**

* イとエの色が異なる場合：

* アの色：5通り

* イの色：4通り

* エの色：3通り（アと異なる必要があるが、イとも異なる必要がある）

* ウの色：2通り

* オの色：エとウが異なる色なので、3通り

* 合計： $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 3 = 360$ 通り

* イとエの色が同じ場合：

* アの色：5通り

* イの色：4通り

* エの色：1通り（イと同じ色）

* ウの色：3通り

* オの色：エとウが異なる色なので、3通り

* 合計： $5 \times 4 \times 1 \times 3 \times 3 = 180$ 通り

**ステップ7：**

合計の塗り方は、$360 + 180 = 540$ 通り

3. 最終的な答え

540 通り