ボタンを押すと、X, Y, Zのいずれかが出力される機械がある。それぞれの出力確率は、Xが$\frac{2}{5}$、Yが$\frac{1}{5}$、Zが$\frac{2}{5}$である。このボタンを5回押すとき、以下の確率を求める。 (1) Xが3回、Yが1回、Zが1回出力される確率 (2) XとYの出力回数が同じである確率

1. 問題の内容

ボタンを押すと、X, Y, Zのいずれかが出力される機械がある。それぞれの出力確率は、Xが$\frac{2}{5}$、Yが$\frac{1}{5}$、Zが$\frac{2}{5}$である。このボタンを5回押すとき、以下の確率を求める。

(1) Xが3回、Yが1回、Zが1回出力される確率

(2) XとYの出力回数が同じである確率

2. 解き方の手順

(1)

5回中Xが3回、Yが1回、Zが1回となる組み合わせの数を求める。これは多項定理を用いて計算できる。

組み合わせの数は $\frac{5!}{3!1!1!} = \frac{5 \times 4}{1} = 20$ 通り。

それぞれの事象の確率は独立なので、確率は

$20 \times (\frac{2}{5})^3 \times (\frac{1}{5})^1 \times (\frac{2}{5})^1 = 20 \times \frac{8}{125} \times \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} = 20 \times \frac{16}{3125} = \frac{320}{3125} = \frac{64}{625}$

(2)

XとYの出力回数が同じである場合を考える。

(i) X, Yが0回の場合：Zが5回なので、確率は$(\frac{2}{5})^5 = \frac{32}{3125}$

(ii) X, Yが1回の場合：Zが3回なので、確率は$\frac{5!}{1!1!3!} \times (\frac{2}{5})^1 \times (\frac{1}{5})^1 \times (\frac{2}{5})^3 = 20 \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{8}{125} = 20 \times \frac{16}{3125} = \frac{320}{3125} = \frac{64}{625}$

(iii) X, Yが2回の場合：Zが1回なので、確率は$\frac{5!}{2!2!1!} \times (\frac{2}{5})^2 \times (\frac{1}{5})^2 \times (\frac{2}{5})^1 = 30 \times \frac{4}{25} \times \frac{1}{25} \times \frac{2}{5} = 30 \times \frac{8}{3125} = \frac{240}{3125} = \frac{48}{625}$

これらの確率を合計する。

$\frac{32}{3125} + \frac{320}{3125} + \frac{240}{3125} = \frac{592}{3125}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{64}{625}$

(2) $\frac{592}{3125}$