8人の生徒がそれぞれ10回フリースローを行い、成功した回数が表に記録されている。Hさんの記録が不明だが、8人の成功回数の平均値と中央値が等しいことがわかっている。Hさんのフリースロー成功回数を求める。

1. 問題の内容

8人の生徒がそれぞれ10回フリースローを行い、成功した回数が表に記録されている。Hさんの記録が不明だが、8人の成功回数の平均値と中央値が等しいことがわかっている。Hさんのフリースロー成功回数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた7人の成功回数を小さい順に並べます。

5, 6, 7, 8, 8, 9, 10

Hさんの成功回数を $x$ とします。

8人全体の平均値を求めます。平均値は、合計を人数で割ったものです。

平均値 = $(5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 + x) / 8 = (53 + x) / 8$

8人の中央値を求めます。中央値は、データを小さい順に並べたときの中央の値です。データ数が偶数の場合は、中央の2つの値の平均が中央値となります。

$x$ の値によって、中央値が変わるので、場合分けして考えます。

(1) $x \le 7$ の場合：

データを小さい順に並べると $x, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$ となり、中央値は $(7+8)/2 = 7.5$

よって、$(53 + x) / 8 = 7.5$

$53 + x = 60$

$x = 7$

(2) $7 < x < 8$ の場合: データは$5, 6, 7, x, 8, 8, 9, 10$となります。 中央値は $(x+8)/2$ となります。

よって $(53+x)/8 = (x+8)/2$

$53+x = 4x + 32$

$3x = 21$

$x=7$. これは$7 < x < 8$を満たさないので不適です。

(3) $x = 8$ の場合：

データを小さい順に並べると $5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10$ となり、中央値は $(8+8)/2 = 8$

よって、$(53 + x) / 8 = 8$

$53 + x = 64$

$x = 11$.　これはあり得ないため不適です。なぜなら、$x$は10以下でないといけないからです。

(4) $8 < x \le 9$ の場合：

データを小さい順に並べると $5, 6, 7, 8, 8, 9, x, 10$ となり、中央値は $(8+8)/2 = 8$

よって、$(53 + x) / 8 = 8$

$53 + x = 64$

$x = 11$. これは$8 < x \le 9$を満たさないので不適です。

(5) $x > 9$ の場合：

データを小さい順に並べると $5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, x$ となり、中央値は $(8+8)/2 = 8$

よって、$(53 + x) / 8 = 8$

$53 + x = 64$

$x = 11$

$x = 7$の場合、データを小さい順に並べると $5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10$ となり、中央値は $(7+8)/2=7.5$. 平均値は $(53+7)/8 = 60/8 = 7.5$. これは条件を満たします。

$x=11$の場合、平均値と中央値が等しくないので、$x$は10以下であることからも不適である。

3. 最終的な答え

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