与えられた式 $2x^2 + 15xy + 18y^2 = (x+ay)(bx+cy)$ において、$a, b, c$ は定数とする。このとき、$a+b+c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 15xy + 18y^2 = (x+ay)(bx+cy)$ において、$a, b, c$ は定数とする。このとき、$a+b+c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開する。

$(x+ay)(bx+cy) = bx^2 + cxy + abxy + acy^2 = bx^2 + (c+ab)xy + acy^2$

この式と左辺の式 $2x^2 + 15xy + 18y^2$ を比較する。

係数を比較すると、以下の関係が得られる。

$b=2$

$c+ab = 15$

$ac=18$

$b=2$を $c+ab = 15$ に代入する。

$c+2a=15$ より $c = 15-2a$

これを $ac=18$ に代入する。

$a(15-2a)=18$

$15a-2a^2=18$

$2a^2 - 15a + 18 = 0$

この二次方程式を解く。

$(2a-3)(a-6)=0$

したがって、$a = \frac{3}{2}$ または $a = 6$ である。

(i) $a = \frac{3}{2}$ のとき、

$c = 15 - 2a = 15 - 2(\frac{3}{2}) = 15 - 3 = 12$

$a+b+c = \frac{3}{2} + 2 + 12 = \frac{3}{2} + 14 = \frac{3+28}{2} = \frac{31}{2} = 15.5$

(ii) $a = 6$ のとき、

$c = 15 - 2a = 15 - 2(6) = 15 - 12 = 3$

$a+b+c = 6 + 2 + 3 = 11$

選択肢の中に $11$ があるので、$a+b+c = 11$ が答えである可能性が高い。

3. 最終的な答え

11