与えられた問題を解きます。 (1) $x^2 + (3y+4)x + 2y^2 + 5y + 3$ を因数分解します。 (2) $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。 (3) 不等式 $|2x-1| < 3$ を解きます。 (4) 放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。 (5) 2次関数 $f(x) = -x^2 + 4x$ の $0 \leq x \leq 3$ における最大値を求めます。 (6) 三角形 ABC において、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 3$, $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{3}$ のとき、この三角形の面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題を解きます。

(1) $x^2 + (3y+4)x + 2y^2 + 5y + 3$ を因数分解します。

(2) $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

(3) 不等式 $|2x-1| < 3$ を解きます。

(4) 放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動した放物線の方程式を求めます。

(5) 2次関数 $f(x) = -x^2 + 4x$ の $0 \leq x \leq 3$ における最大値を求めます。

(6) 三角形 ABC において、$AB = \sqrt{2}$, $BC = 3$, $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{3}$ のとき、この三角形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$x^2 + (3y+4)x + 2y^2 + 5y + 3$

$= x^2 + (3y+4)x + (2y+3)(y+1)$

$= (x + (2y+3))(x + (y+1))$

$= (x + 2y + 3)(x + y + 1)$

(2) 分母の有理化

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}} = \frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

(3) 不等式

$|2x-1| < 3$

$-3 < 2x - 1 < 3$

$-2 < 2x < 4$

$-1 < x < 2$

(4) 平行移動

$y = x^2 - 2x + 4$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -1 だけ平行移動すると

$y + 1 = (x - 1)^2 - 2(x - 1) + 4$

$y = x^2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 4 - 1$

$y = x^2 - 4x + 6$

(5) 最大値

$f(x) = -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -(x-2)^2 + 4$

$0 \leq x \leq 3$ の範囲で、$x = 2$ のとき最大値 $f(2) = 4$ をとります。

(6) 三角形の面積

$AB = \sqrt{2}$, $BC = 3$, $\cos{\angle ABC} = \frac{1}{3}$

$\sin^2{\angle ABC} + \cos^2{\angle ABC} = 1$ より

$\sin^2{\angle ABC} = 1 - \cos^2{\angle ABC} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\angle ABC} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (since $\angle ABC$ is an angle of a triangle, $\sin{\angle ABC} > 0$)

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $(x + 2y + 3)(x + y + 1)$

(2) $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$

(3) $-1 < x < 2$

(4) $y = x^2 - 4x + 6$

(5) $4$

(6) $2$