与えられた不等式(または不等式系)の表す領域を図示する問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $\begin{cases} x - 2y - 2 < 0 \\ 3x + y - 5 < 0 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 \le 0 \\ x + 3y - 3 \ge 0 \end{cases}$ (3) $-2x^2 + 1 \le y < x + 4$

1. 問題の内容

与えられた不等式(または不等式系)の表す領域を図示する問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $\begin{cases} x - 2y - 2 < 0 \\ 3x + y - 5 < 0 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 \le 0 \\ x + 3y - 3 \ge 0 \end{cases}$

(3) $-2x^2 + 1 \le y < x + 4$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x - 2y - 2 < 0$ を $y > \frac{1}{2}x - 1$ と変形します。

次に、$3x + y - 5 < 0$ を $y < -3x + 5$ と変形します。

これらの不等式に対応する直線をそれぞれ描画し、$y > \frac{1}{2}x - 1$ の領域（直線の上の部分）と $y < -3x + 5$ の領域（直線の下の部分）の共通部分が求める領域です。境界線は含みません。

(2)

まず、$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 \le 0$ を変形します。

$x^2 - 4x + y^2 - 2y + 3 \le 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) \le 4 + 1 - 3$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \le 2$

これは、中心 $(2, 1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円の内部（境界を含む）を表します。

次に、$x + 3y - 3 \ge 0$ を $y \ge -\frac{1}{3}x + 1$ と変形します。

これは、直線 $y = -\frac{1}{3}x + 1$ の上側の領域（境界を含む）を表します。

求める領域は、円の内部と直線の上の領域の共通部分です。

(3)

まず、$y \ge -2x^2 + 1$ は、放物線 $y = -2x^2 + 1$ の上側の領域（境界を含む）を表します。

次に、$y < x + 4$ は、直線 $y = x + 4$ の下側の領域（境界を含まない）を表します。

求める領域は、放物線の上側の領域と直線の下側の領域の共通部分です。

3. 最終的な答え

(1) 直線 $y = \frac{1}{2}x - 1$ の上側と直線 $y = -3x + 5$ の下側の共通部分（境界を含まず）。

(2) 円 $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$ の内部と直線 $y = -\frac{1}{3}x + 1$ の上側の共通部分（境界を含む）。

(3) 放物線 $y = -2x^2 + 1$ の上側と直線 $y = x + 4$ の下側の共通部分（放物線は境界を含み、直線は境界を含まず）。