台形ABCDがあり、AD//BC, ∠ABC=90°, AB=6cm, AD=8cm, BC=12cmである。点PはAからAD上を毎秒1cmで動き、点QはCからCB上を毎秒2cmで往復する。PとQが同時に出発してからx秒後の四角形ABQPの面積をy cm$^2$とする。 問1: x=5のときのyの値を求める。 問2: $6 \le x \le 8$のとき、yをxの式で表す。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、AD//BC, ∠ABC=90°, AB=6cm, AD=8cm, BC=12cmである。点PはAからAD上を毎秒1cmで動き、点QはCからCB上を毎秒2cmで往復する。PとQが同時に出発してからx秒後の四角形ABQPの面積をy cm$^2$とする。

問1: x=5のときのyの値を求める。

問2: $6 \le x \le 8$のとき、yをxの式で表す。

2. 解き方の手順

問1:

5秒後のPの位置は、Aから5cmの地点。QはCから2cm/秒 * 5秒 = 10cm移動した地点にある。

台形ABQPの面積は、上底AP + 下底BQ = 5cm + 10cm = 15cm。高さはAB = 6cm。

面積yは $y = (15 \times 6) / 2 = 45 cm^2$。

問2:

$6 \le x \le 8$のとき、点Qは辺BC上を往復し、B点からC点に向かっている。

Qが点Cを出発してから6秒で、点Bに到着する。（12cm / 2cm/秒 = 6秒）

そのため、6秒から8秒の間、点QはBCの中間地点から点Cへ向かっていることになる。

QがBからCに向かって進んでいるとき、BCからの距離は 2x - 12。

四角形ABQPの面積は台形となる。

AP = 8 cm (PはDに到着している）

BQ = 12 - (2x-12) = 24 - 2x (cm)

四角形ABQPの面積yは

$y = ((8 + (24-2x)) \times 6) / 2$

$y = ((32-2x) \times 6) / 2$

$y = (192 - 12x) / 2$

$y = 96 - 6x$

$y = -6x + 96$

3. 最終的な答え

問1: 45 cm$^2$

問2: $y = -6x + 96$