与えられた4つの方程式を解きます。 (1) $(x-1)^2 = 3x - 5$ (2) $4x^2 - 2x - 16 = 0$ (3) $\frac{1}{4}x^2 = 5x + 11$ (4) $(x-2)^2 + 7(x-2) = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式を解きます。

(1) $(x-1)^2 = 3x - 5$

(2) $4x^2 - 2x - 16 = 0$

(3) $\frac{1}{4}x^2 = 5x + 11$

(4) $(x-2)^2 + 7(x-2) = 0$

2. 解き方の手順

(1) $(x-1)^2 = 3x - 5$

まず、左辺を展開します。

$x^2 - 2x + 1 = 3x - 5$

次に、右辺を左辺に移項し、整理します。

$x^2 - 2x - 3x + 1 + 5 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

この二次方程式を因数分解します。

$(x - 2)(x - 3) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = 3$

(2) $4x^2 - 2x - 16 = 0$

まず、方程式全体を2で割ります。

$2x^2 - x - 8 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 2$, $b = -1$, $c = -8$ なので、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-8)}}{2(2)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{4}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{4}$

(3) $\frac{1}{4}x^2 = 5x + 11$

まず、方程式全体を4倍します。

$x^2 = 20x + 44$

次に、右辺を左辺に移項します。

$x^2 - 20x - 44 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -20$, $c = -44$ なので、

$x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-44)}}{2(1)}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2}$

$x = \frac{20 \pm 24}{2}$

$x = 10 \pm 12$

よって、$x = 10 + 12 = 22$ または $x = 10 - 12 = -2$

(4) $(x-2)^2 + 7(x-2) = 0$

$(x-2)$を共通因数としてくくり出します。

$(x-2)[(x-2) + 7] = 0$

$(x-2)(x-2+7) = 0$

$(x-2)(x+5) = 0$

よって、$x = 2$ または $x = -5$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, 3$

(2) $x = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{4}$

(3) $x = 22, -2$

(4) $x = 2, -5$