(1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (2) 放物線 $y = -2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。 (3) 放物線 $y = -4(x-2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。 放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, 放物線 $y = -2(x+3)^2 - 1$ となります。平行移動前の放物線の式を求めます。

## 問題の解答

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(2) 放物線 $y = -2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動した放物線の式を求めます。

(3) 放物線 $y = -4(x-2)^2 - 1$ のグラフをどのように平行移動すると, $y = -4x^2$ のグラフになるか求めます。

放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, 放物線 $y = -2(x+3)^2 - 1$ となります。平行移動前の放物線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線の平行移動の公式を使います。$x$軸方向に $p$, $y$軸方向に $q$ だけ平行移動する場合, $x$ を $x-p$ に, $y$ を $y-q$ に置き換えます。

よって、$y=2x^2 + 1$ を $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、

$y - (-2) = 2(x - (-1))^2 + 1$

$y + 2 = 2(x + 1)^2 + 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 1$

(2) 同様に, $y = -2(x+1)^2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動すると、

$y - (-3) = -2(x + 1 - 2)^2$

$y + 3 = -2(x - 1)^2$

$y = -2(x - 1)^2 - 3$

(3) $y = -4(x-2)^2 - 1$ を $y = -4x^2$ にするには, $x-2$ を $x$ に, $-1$ を $0$ にすればよいです。

$x-2$ を $x$ にするためには, $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動します。

$-1$ を $0$ にするためには, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動します。

したがって、$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すればよいです。

元の放物線を $y = f(x)$ とします。$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると, $y = -2(x+3)^2 - 1$ となるので

$y - 3 = f(x + 2)$

$y = f(x+2) + 3$

$f(x+2) + 3 = -2(x+3)^2 - 1$

$f(x+2) = -2(x+3)^2 - 4$

$f(x) = -2(x+1)^2 - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x+1)^2 - 1$

(2) $y = -2(x-1)^2 - 3$

(3) $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $1$

元の放物線の式: $y = -2(x+1)^2 - 4$