$xy$平面上に点 $P_1(0,0)$, $Q_1(a,0)$, $R_1(b,c)$ が与えられている。線分 $Q_1R_1$ の中点を $P_2$, $R_1P_1$ の中点を $Q_2$, $P_1Q_1$ の中点を $R_2$ とする。同様に、$n \ge 2$ の自然数 $n$ に対して、線分 $Q_nR_n$ の中点を $P_{n+1}$, $R_nP_n$ の中点を $Q_{n+1}$, $P_nQ_n$ の中点を $R_{n+1}$ とする。 (1) 点 $P_3$, $Q_3$, $R_3$ の座標を $a, b, c$ を用いて表す。 (2) ベクトル $\overrightarrow{P_3P_5}$ をベクトル $\overrightarrow{P_1P_3}$ を用いて表す。 (3) 点 $P_{2n+1}$ の座標 $(X_{2n+1}, Y_{2n+1})$ を $a, b, c, n$ を用いて表す。 (4) $X = \lim_{n\to\infty} X_{2n+1}$, $Y = \lim_{n\to\infty} Y_{2n+1}$ とする。座標 $(X, Y)$ を $a, b, c$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$xy$平面上に点 $P_1(0,0)$, $Q_1(a,0)$, $R_1(b,c)$ が与えられている。線分 $Q_1R_1$ の中点を $P_2$, $R_1P_1$ の中点を $Q_2$, $P_1Q_1$ の中点を $R_2$ とする。同様に、$n \ge 2$ の自然数 $n$ に対して、線分 $Q_nR_n$ の中点を $P_{n+1}$, $R_nP_n$ の中点を $Q_{n+1}$, $P_nQ_n$ の中点を $R_{n+1}$ とする。

(1) 点 $P_3$, $Q_3$, $R_3$ の座標を $a, b, c$ を用いて表す。

(2) ベクトル $\overrightarrow{P_3P_5}$ をベクトル $\overrightarrow{P_1P_3}$ を用いて表す。

(3) 点 $P_{2n+1}$ の座標 $(X_{2n+1}, Y_{2n+1})$ を $a, b, c, n$ を用いて表す。

(4) $X = \lim_{n\to\infty} X_{2n+1}$, $Y = \lim_{n\to\infty} Y_{2n+1}$ とする。座標 $(X, Y)$ を $a, b, c$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$P_2, Q_2, R_2$ を計算する。

$P_2 = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{0+c}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)$

$Q_2 = \left(\frac{b+0}{2}, \frac{c+0}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)$

$R_2 = \left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)$

次に、$P_3, Q_3, R_3$ を計算する。

$P_3 = \left(\frac{\frac{b}{2}+\frac{a}{2}}{2}, \frac{\frac{c}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$Q_3 = \left(\frac{\frac{a}{2}+\frac{a+b}{2}}{2}, \frac{0+\frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{2a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$R_3 = \left(\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b}{2}}{2}, \frac{\frac{c}{2}+\frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a+2b}{4}, \frac{c}{2}\right)$

(2)

$\overrightarrow{P_1P_3} = \left(\frac{a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$P_4 = \left(\frac{\frac{2a+b}{4} + \frac{a+2b}{4}}{2}, \frac{\frac{c}{4}+\frac{c}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3a+3b}{8}, \frac{3c}{8}\right)$

$Q_4 = \left(\frac{\frac{a+2b}{4} + \frac{a+b}{4}}{2}, \frac{\frac{c}{2}+\frac{c}{4}}{2}\right) = \left(\frac{2a+3b}{8}, \frac{3c}{8}\right)$

$R_4 = \left(\frac{\frac{a+b}{4} + \frac{2a+b}{4}}{2}, \frac{\frac{c}{4}+\frac{c}{4}}{2}\right) = \left(\frac{3a+2b}{8}, \frac{c}{4}\right)$

$P_5 = \left(\frac{\frac{2a+3b}{8} + \frac{3a+2b}{8}}{2}, \frac{\frac{3c}{8}+\frac{c}{4}}{2}\right) = \left(\frac{5a+5b}{16}, \frac{5c}{16}\right)$

$\overrightarrow{P_3P_5} = \left(\frac{5a+5b}{16} - \frac{a+b}{4}, \frac{5c}{16} - \frac{c}{4}\right) = \left(\frac{a+b}{16}, \frac{c}{16}\right)$

$\overrightarrow{P_3P_5} = \frac{1}{4} \overrightarrow{P_1P_3}$

(3)

$P_1 = (0, 0)$

$P_3 = \left(\frac{a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$P_5 = \left(\frac{a+b}{4} + \frac{1}{4}\left(\frac{a+b}{4}\right), \frac{c}{4} + \frac{1}{4}\left(\frac{c}{4}\right)\right) = \left(\frac{a+b}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right), \frac{c}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right)\right)$

$P_7 = \left(\frac{a+b}{4} \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2}\right), \frac{c}{4} \left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2}\right)\right)$

$P_{2n+1} = \left(\frac{a+b}{4} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{4}\right)^k, \frac{c}{4} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{4}\right)^k\right)$

$P_{2n+1} = \left(\frac{a+b}{4} \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{1 - \frac{1}{4}}, \frac{c}{4} \frac{1 - (\frac{1}{4})^n}{1 - \frac{1}{4}}\right) = \left(\frac{a+b}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right), \frac{c}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\right)$

よって、

$X_{2n+1} = \frac{a+b}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$

$Y_{2n+1} = \frac{c}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$

(4)

$X = \lim_{n\to\infty} X_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{a+b}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right) = \frac{a+b}{3}$

$Y = \lim_{n\to\infty} Y_{2n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{c}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right) = \frac{c}{3}$

3. 最終的な答え

$P_3 = \left(\frac{a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$Q_3 = \left(\frac{2a+b}{4}, \frac{c}{4}\right)$

$R_3 = \left(\frac{a+2b}{4}, \frac{c}{2}\right)$

$\overrightarrow{P_3P_5} = \frac{1}{4} \overrightarrow{P_1P_3}$

$X_{2n+1} = \frac{a+b}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$

$Y_{2n+1} = \frac{c}{3} \left(1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)$

$X = \frac{a+b}{3}$

$Y = \frac{c}{3}$