2つの放物線 $y = 2x^2 + 1$ と $y = -x^2 + c$ （ただし、$c < 1$）の共通接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = 2x^2 + 1$ と $y = -x^2 + c$ （ただし、$c < 1$）の共通接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2 + 1$ 上の点 $(t, 2t^2 + 1)$ における接線を求めます。

$y' = 4x$ なので、この点における接線の方程式は

$y - (2t^2 + 1) = 4t(x - t)$

$y = 4tx - 4t^2 + 2t^2 + 1$

$y = 4tx - 2t^2 + 1$

次に、この接線が $y = -x^2 + c$ にも接することを考えます。つまり、$4tx - 2t^2 + 1 = -x^2 + c$ が重解を持つということです。

$x^2 + 4tx - 2t^2 + 1 - c = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ が 0 となる条件を考えます。

$D = (4t)^2 - 4(1)(-2t^2 + 1 - c) = 0$

$16t^2 + 8t^2 - 4 + 4c = 0$

$24t^2 = 4 - 4c$

$t^2 = \frac{1 - c}{6}$

$t = \pm \sqrt{\frac{1 - c}{6}}$

$t$ の値を接線の方程式に代入します。

$y = 4(\pm \sqrt{\frac{1 - c}{6}})x - 2(\frac{1 - c}{6}) + 1$

$y = \pm 4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x - \frac{1 - c}{3} + 1$

$y = \pm 4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x + \frac{2 + c}{3}$

したがって、共通接線の方程式は $y = \pm 4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x + \frac{2 + c}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = 4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x + \frac{2 + c}{3}$

$y = -4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x + \frac{2 + c}{3}$

あるいは、$y = \pm 4\sqrt{\frac{1 - c}{6}}x + \frac{2 + c}{3}$