与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (7) $2x^2+5xy+2y^2-5x-y-3$ (8) $x^2-y^2+4x+6y-5$

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。

(7) $2x^2+5xy+2y^2-5x-y-3$

(8) $x^2-y^2+4x+6y-5$

2. 解き方の手順

(7)の式の因数分解

まず、$2x^2+5xy+2y^2$の部分を因数分解します。

$2x^2+5xy+2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

次に、与えられた式全体が $(2x+y+a)(x+2y+b)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると、

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (a+2b)x + (2a+b)y + ab$

これを与えられた式と比較すると、

$a+2b = -5$

$2a+b = -1$

$ab = -3$

連立方程式を解きます。2番目の式から $b = -1 - 2a$。これを1番目の式に代入すると、

$a + 2(-1-2a) = -5$

$a - 2 - 4a = -5$

$-3a = -3$

$a = 1$

よって、$b = -1 - 2(1) = -3$

$ab = 1 * -3 = -3$ となり、条件を満たします。

したがって、$2x^2+5xy+2y^2-5x-y-3 = (2x+y+1)(x+2y-3)$

(8)の式の因数分解

$x^2-y^2+4x+6y-5 = (x^2+4x) - (y^2-6y) - 5$

平方完成を目指します。

$(x^2+4x) = (x+2)^2 - 4$

$(y^2-6y) = (y-3)^2 - 9$

したがって、$x^2-y^2+4x+6y-5 = (x+2)^2 - 4 - ((y-3)^2 - 9) - 5$

$= (x+2)^2 - (y-3)^2 - 4 + 9 - 5$

$= (x+2)^2 - (y-3)^2$

$= (x+2+y-3)(x+2-(y-3))$

$= (x+y-1)(x-y+5)$

3. 最終的な答え

(7) $(2x+y+1)(x+2y-3)$

(8) $(x+y-1)(x-y+5)$