$a, b$を実数の定数とする。$x$の3次方程式 $x^3-(b+1)x^2+(3a+b+5)x-4a+b-13 = 0$ が $x=2$ を解にもつとき、$b$の値を$a$で表し、与えられた3次方程式を因数分解せよ。さらに、この3次方程式の解がすべて0以上の実数となるような$a$の範囲を求めるための条件を考える。

1. 問題の内容

$a, b$を実数の定数とする。$x$の3次方程式 $x^3-(b+1)x^2+(3a+b+5)x-4a+b-13 = 0$ が $x=2$ を解にもつとき、$b$の値を$a$で表し、与えられた3次方程式を因数分解せよ。さらに、この3次方程式の解がすべて0以上の実数となるような$a$の範囲を求めるための条件を考える。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$を与えられた方程式に代入して、$a$と$b$の関係式を求める。

$2^3 - (b+1)2^2 + (3a+b+5)2 - 4a + b - 13 = 0$

$8 - 4(b+1) + 6a+2b+10 - 4a + b - 13 = 0$

$8 - 4b - 4 + 6a + 2b + 10 - 4a + b - 13 = 0$

$2a - b + 1 = 0$

$b = 2a + 1$

次に、$b = 2a + 1$ を元の3次方程式に代入する。

$x^3 - (2a+1+1)x^2 + (3a + 2a+1 + 5)x - 4a + 2a + 1 - 13 = 0$

$x^3 - (2a+2)x^2 + (5a+6)x - 2a - 12 = 0$

$x=2$を解に持つので、因数定理より$(x-2)$で割り切れる。

実際に割ってみる。

```

x^2 - 2ax - (a+6)

x - 2 | x^3 - 2(a+1)x^2 + (5a+6)x - 2a-12

x^3 - 2x^2

--------------------

-2ax^2 + (5a+6)x

-2ax^2 + 4ax

--------------------

(a+6)x - 2a-12

(a+6)x - 2a-12

--------------------

0

```

したがって、$x^3 - (2a+2)x^2 + (5a+6)x - 2a - 12 = (x-2)(x^2 - 2ax - (a+6)) = 0$

3. 最終的な答え

$b = 2a + 1$

$(x-2)(x^2 - 2ax - (a+6)) = 0$