(1) 放物線 $y = x^2$ を、頂点が $(1, -2)$ になるように平行移動した放物線の方程式を求める。 (2) 頂点が $(3, 0)$ で、点 $(5, 8)$ を通る放物線の方程式を求める。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1), (2)について解答します。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2$ を、頂点が $(1, -2)$ になるように平行移動した放物線の方程式を求める。

(2) 頂点が $(3, 0)$ で、点 $(5, 8)$ を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2$ を平行移動して、頂点が $(1, -2)$ になるようにします。

頂点の座標が $(h, k)$ である放物線の方程式は、$y = a(x - h)^2 + k$ で表されます。

この問題では、$a = 1$, $h = 1$, $k = -2$ なので、求める放物線の方程式は、

$y = (x - 1)^2 - 2$

$y = x^2 - 2x + 1 - 2$

$y = x^2 - 2x - 1$

(2)

頂点が $(3, 0)$ である放物線の方程式は、$y = a(x - 3)^2 + 0 = a(x - 3)^2$ と表されます。

この放物線が点 $(5, 8)$ を通るので、$x = 5$, $y = 8$ を代入して $a$ を求めます。

$8 = a(5 - 3)^2$

$8 = a(2)^2$

$8 = 4a$

$a = 2$

したがって、求める放物線の方程式は、$y = 2(x - 3)^2$ です。

展開すると、$y = 2(x^2 - 6x + 9) = 2x^2 - 12x + 18$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 1$

(2) $y = 2(x - 3)^2$ (または $y = 2x^2 - 12x + 18$)