以下の7つの問題を解きます。 (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求めます。 (2) 2次関数 $y = 2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-1だけ平行移動させたときの関数を求めます。 (3) 2次関数 $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求めます。 (4) 2次関数 $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフとx軸との共有点の個数を求めます。 (5) 2次関数 $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフとx軸との共有点の個数を求めます。 (6) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 \leq 0$ の解を求めます。 (7) 2次不等式 $x^2 - x - 6 > 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

以下の7つの問題を解きます。

(1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 5$ のグラフの頂点を求めます。

(2) 2次関数 $y = 2x^2$ のグラフをx軸方向に3, y軸方向に-1だけ平行移動させたときの関数を求めます。

(3) 2次関数 $y = -x^2 + 6x$ の最大値を求めます。

(4) 2次関数 $y = 3x^2 - 5x + 2$ のグラフとx軸との共有点の個数を求めます。

(5) 2次関数 $y = -2x^2 + x - 4$ のグラフとx軸との共有点の個数を求めます。

(6) 2次不等式 $x^2 + 6x - 16 \leq 0$ の解を求めます。

(7) 2次不等式 $x^2 - x - 6 > 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点を求めるために、平方完成を行います。

$y = 2(x^2 + 2x) - 5$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 5$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) - 5$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 5$

$y = 2(x + 1)^2 - 7$

したがって、頂点は $(-1, -7)$ です。

(2) x軸方向に3, y軸方向に-1だけ平行移動させるので、

$x$ を $x-3$ に、 $y$ を $y+1$ に置き換えます。

$y + 1 = 2(x - 3)^2$

$y = 2(x - 3)^2 - 1$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) 最大値を求めるために、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 6x)$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9)$

$y = -((x - 3)^2 - 9)$

$y = -(x - 3)^2 + 9$

したがって、最大値は $9$ です。

(4) $x$軸との共有点の個数を求めるために、判別式を計算します。

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1 > 0$

判別式が正なので、共有点は2個です。

(5) $x$軸との共有点の個数を求めるために、判別式を計算します。

$D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-2)(-4) = 1 - 32 = -31 < 0$

判別式が負なので、共有点は0個です。

(6) 2次不等式を解きます。

$x^2 + 6x - 16 \leq 0$

$(x + 8)(x - 2) \leq 0$

したがって、$-8 \leq x \leq 2$ です。

(7) 2次不等式を解きます。

$x^2 - x - 6 > 0$

$(x - 3)(x + 2) > 0$

したがって、$x < -2$ または $x > 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(-1, -7)$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(3) $9$

(4) $2$

(5) $0$

(6) $-8 \leq x \leq 2$

(7) $x < -2$ または $x > 3$