与えられた3つの二重根号の式を簡単にする問題です。 (1) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$ (2) $\sqrt{15 + \sqrt{200}}$ (3) $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの二重根号の式を簡単にする問題です。

(1) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$

(2) $\sqrt{15 + \sqrt{200}}$

(3) $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外すには、$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ の形を $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ の形に変形します。ここで、$x+y = a$ かつ $xy = (\frac{b}{4})$ となるような $x$ と $y$ を探します。

(1) $\sqrt{10 - 2\sqrt{21}}$

$x+y = 10$ かつ $xy = 21$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=7$, $y=3$ が条件を満たすため、

$\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{15 + \sqrt{200}}$

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}$ なので、

$\sqrt{15 + 10\sqrt{2}}$ となります。

$x+y = 15$ かつ $xy = \frac{200}{4}=50$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x=10$, $y=5$ が条件を満たすため、

$\sqrt{15 + 10\sqrt{2}} = \sqrt{10} + \sqrt{5}$

ここで、$\sqrt{10} = \sqrt{5} \sqrt{2}$より、

$\sqrt{15 + \sqrt{200}} = \sqrt{10} + \sqrt{5}$

(3) $\sqrt{4 - \sqrt{15}}$

$x+y = 4$ かつ $xy = \frac{15}{4}$ となる $x$ と $y$ を探します。

$x = \frac{5}{2}$, $y = \frac{3}{2}$ が条件を満たすため、

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{7} - \sqrt{3}$

(2) $\sqrt{10} + \sqrt{5}$

(3) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$