与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

4x4行列の行列式を計算する一般的な方法は、行または列に沿って展開することです。 ここでは、第1行に沿って展開します。

$\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14}$

ここで、$a_{ij}$は行列$A$の$i$行$j$列の要素であり、$C_{ij}$は$a_{ij}$の余因子です。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ で与えられます。ここで、$M_{ij}$は小行列式です。小行列式は、元の行列から$i$行と$j$列を取り除いた行列の行列式です。

まず、$C_{11}$, $C_{12}$, $C_{13}$, $C_{14}$を計算します。

$M_{11} = \begin{vmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -6 \\ -4 & 1 & -9 \end{vmatrix} = -3(27+6) - 1(-18-24) + 2(2-12) = -3(33) - (-42) + 2(-10) = -99 + 42 - 20 = -77$

$C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = -77$

$M_{12} = \begin{vmatrix} -5 & 1 & 2 \\ 4 & -3 & -6 \\ -1 & 1 & -9 \end{vmatrix} = -5(27+6) - 1(-36-6) + 2(4-3) = -5(33) - (-42) + 2(1) = -165 + 42 + 2 = -121$

$C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -(-121) = 121$

$M_{13} = \begin{vmatrix} -5 & -3 & 2 \\ 4 & 2 & -6 \\ -1 & -4 & -9 \end{vmatrix} = -5(-18-24) - (-3)(-36-6) + 2(-16+2) = -5(-42) + 3(-42) + 2(-14) = 210 - 126 - 28 = 56$

$C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = 56$

$M_{14} = \begin{vmatrix} -5 & -3 & 1 \\ 4 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & 1 \end{vmatrix} = -5(2-12) - (-3)(4-3) + 1(-16+2) = -5(-10) + 3(1) + (-14) = 50 + 3 - 14 = 39$

$C_{14} = (-1)^{1+4}M_{14} = -39$

$\det(A) = 3C_{11} + (-1)C_{12} + (-2)C_{13} + 3C_{14} = 3(-77) - 121 - 2(56) + 3(-39) = -231 - 121 - 112 - 117 = -581$

3. 最終的な答え

-581