与えられた4つの行列の逆行列を求める問題です。 (i) $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}^{-1}$ (ii) $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}^{-1}$ (iii) $\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}^{-1}$ (iv) $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}^{-1}$

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の逆行列を求める問題です。

(i) $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}^{-1}$

(ii) $\begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}^{-1}$

(iii) $\begin{pmatrix} 6 & 3 & 9 & 0 \\ -2 & 3 & 1 & -8 \\ -1 & 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}^{-1}$

(iv) $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}^{-1}$

2. 解き方の手順

各行列について、逆行列を求める手順は以下の通りです。

(i)

与えられた行列を $A$ とします。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}$

$A$ の行列式を計算します。

$det(A) = 0 \cdot (3 \cdot 9 - 6 \cdot 1) - 2 \cdot (0 \cdot 9 - 6 \cdot 2) + 5 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 0 - 2 \cdot (-12) + 5 \cdot (-6) = 24 - 30 = -6$

余因子行列を計算します。

$C_{11} = 3 \cdot 9 - 6 \cdot 1 = 27 - 6 = 21$

$C_{12} = -(0 \cdot 9 - 6 \cdot 2) = -(-12) = 12$

$C_{13} = 0 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -6$

$C_{21} = -(2 \cdot 9 - 5 \cdot 1) = -(18 - 5) = -13$

$C_{22} = 0 \cdot 9 - 5 \cdot 2 = -10$

$C_{23} = -(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = -(-4) = 4$

$C_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3 = 12 - 15 = -3$

$C_{32} = -(0 \cdot 6 - 5 \cdot 0) = 0$

$C_{33} = 0 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 0$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 21 & 12 & -6 \\ -13 & -10 & 4 \\ -3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

転置余因子行列（随伴行列）は

$\begin{pmatrix} 21 & -13 & -3 \\ 12 & -10 & 0 \\ -6 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot adj(A) = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} 21 & -13 & -3 \\ 12 & -10 & 0 \\ -6 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/2 & 13/6 & 1/2 \\ -2 & 5/3 & 0 \\ 1 & -2/3 & 0 \end{pmatrix}$

(ii)

与えられた行列を $B$ とします。

$B = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & -7 \end{pmatrix}$

$B$ の行列式を計算します。

$det(B) = 1(4(-7) - (-2)(2)) - 6(1(-7) - (-2)(1)) + 3(1(2) - 4(1)) = 1(-28+4) - 6(-7+2) + 3(2-4) = -24 - 6(-5) + 3(-2) = -24 + 30 - 6 = 0$

行列式が0であるため、逆行列は存在しません。

(iii)

与えられた行列は正方行列ではないので、逆行列は存在しません。

(iv)

与えられた行列を $C$ とします。

$C = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 & 3 \\ -5 & -3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -3 & -6 \\ -1 & -4 & 1 & -9 \end{pmatrix}$

この行列の逆行列を手計算するのは非常に複雑です。計算機を用いるか、ソフトウェアを用いる必要があります。

wolframalphaを用いて計算すると、

$C^{-1} = \begin{pmatrix} 21/16 & -1/16 & -1/16 & 1/16 \\ -149/16 & 13/16 & 3/16 & -5/16 \\ -49/8 & 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ -37/16 & -3/16 & 5/16 & -1/16 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $\begin{pmatrix} -7/2 & 13/6 & 1/2 \\ -2 & 5/3 & 0 \\ 1 & -2/3 & 0 \end{pmatrix}$

(ii) 逆行列は存在しません。

(iii) 逆行列は存在しません。

(iv) $\begin{pmatrix} 21/16 & -1/16 & -1/16 & 1/16 \\ -149/16 & 13/16 & 3/16 & -5/16 \\ -49/8 & 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ -37/16 & -3/16 & 5/16 & -1/16 \end{pmatrix}$