与えられた3次方程式と4次方程式を解く問題です。具体的には以下の5つの方程式を解きます。 (1) $x^3 - 1 = 0$ (3) $125x^3 + 1 = 0$ (1) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$ (3) $x^4 - 81 = 0$ (5) $(x-3)^4 - (x-3)^2 - 12 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3次方程式と4次方程式を解く問題です。具体的には以下の5つの方程式を解きます。

(1) $x^3 - 1 = 0$

(3) $125x^3 + 1 = 0$

(1) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

(3) $x^4 - 81 = 0$

(5) $(x-3)^4 - (x-3)^2 - 12 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 1 = 0$

これは因数分解できます。

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$

$x^2 + x + 1 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

よって、解は $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(3) $125x^3 + 1 = 0$

$(5x)^3 + 1 = 0$

$(5x+1)((5x)^2 - 5x + 1) = 0$

$5x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{5}$

$(5x)^2 - 5x + 1 = 25x^2 - 5x + 1 = 0$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(1)}}{50} = \frac{5 \pm \sqrt{-75}}{50} = \frac{5 \pm 5i\sqrt{3}}{50} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{10}$

よって、解は $x = -\frac{1}{5}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{10}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{10}$

(1) $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$

$(x^2 - 1)^2 = 0$

$(x-1)^2(x+1)^2 = 0$

よって、解は $x = 1, 1, -1, -1$

(3) $x^4 - 81 = 0$

$(x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$

$(x-3)(x+3)(x^2 + 9) = 0$

$x = 3, -3$

$x^2 + 9 = 0$ より $x^2 = -9$, $x = \pm 3i$

よって、解は $x = 3, -3, 3i, -3i$

(5) $(x-3)^4 - (x-3)^2 - 12 = 0$

$y = (x-3)^2$ とおくと、$y^2 - y - 12 = 0$

$(y-4)(y+3) = 0$

$y = 4, -3$

$(x-3)^2 = 4$ より $x-3 = \pm 2$, $x = 5, 1$

$(x-3)^2 = -3$ より $x-3 = \pm i\sqrt{3}$, $x = 3 \pm i\sqrt{3}$

よって、解は $x = 5, 1, 3 + i\sqrt{3}, 3 - i\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

(3) $x = -\frac{1}{5}, \frac{1 + i\sqrt{3}}{10}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{10}$

(1) $x = 1, 1, -1, -1$

(3) $x = 3, -3, 3i, -3i$

(5) $x = 5, 1, 3 + i\sqrt{3}, 3 - i\sqrt{3}$