与えられた条件を満たす2次関数を求め、空欄に当てはまる数字を答える問題です。 (1) 頂点が $(3, 2)$ で、点 $(1, 3)$ を通る。 (2) 軸が $x = -4$ で、2点 $(-2, 1), (1, -20)$ を通る。 (3) 3点 $(-2, -7), (1, 2), (3, -12)$ を通る。 (4) x軸と $(-1, 0), (5, 0)$ で交わり、点 $(2, -18)$ を通る。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求め、空欄に当てはまる数字を答える問題です。

(1) 頂点が $(3, 2)$ で、点 $(1, 3)$ を通る。

(2) 軸が $x = -4$ で、2点 $(-2, 1), (1, -20)$ を通る。

(3) 3点 $(-2, -7), (1, 2), (3, -12)$ を通る。

(4) x軸と $(-1, 0), (5, 0)$ で交わり、点 $(2, -18)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(3, 2)$ なので、$y = a(x-3)^2 + 2$ と表せる。点 $(1, 3)$ を通るので、

$3 = a(1-3)^2 + 2$

$3 = 4a + 2$

$1 = 4a$

$a = \frac{1}{4}$

よって、$y = \frac{1}{4}(x-3)^2 + 2$

(2) 軸が $x = -4$ なので、$y = -a(x+4)^2 + b$ と表せる。2点 $(-2, 1), (1, -20)$ を通るので、

$1 = -a(-2+4)^2 + b = -4a + b$

$-20 = -a(1+4)^2 + b = -25a + b$

2つの式を引き算すると、

$21 = 21a$

$a = 1$

$1 = -4(1) + b$

$b = 5$

よって、$y = -(x+4)^2 + 5$

(3) $y = ax^2 + bx + c$ とおく。3点 $(-2, -7), (1, 2), (3, -12)$ を通るので、

$-7 = 4a - 2b + c$

$2 = a + b + c$

$-12 = 9a + 3b + c$

2式ずつ引き算すると、

$-9 = 3a - 3b$ より、$-3 = a - b$

$-14 = 8a + 2b$ より、$-7 = 4a + b$

2式を足すと、

$-10 = 5a$

$a = -2$

$-3 = -2 - b$

$b = 1$

$2 = -2 + 1 + c$

$c = 3$

よって、$y = -2x^2 + x + 3$

(4) x軸と $(-1, 0), (5, 0)$ で交わるので、$y = a(x+1)(x-5)$ と表せる。点 $(2, -18)$ を通るので、

$-18 = a(2+1)(2-5) = a(3)(-3) = -9a$

$a = 2$

よって、$y = 2(x+1)(x-5) = 2(x^2 - 4x - 5) = 2x^2 - 8x - 10$

3. 最終的な答え

(1) 36-1: 4, 36-2: 2

(2) 37-1: 4, 37-2: 5

(3) 38-1: 2, 38-2: 3

(4) 39-1: 2, 39-2: 8