与えられた式 $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$ を展開し、整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c)$ を展開し、整理する問題です。

2. 解き方の手順

この式は、和と差の積の形に変形できます。具体的には、次のように考えます。

$A = a$, $B = 2b + \frac{1}{2}c$ とすると、与えられた式は $(A-B)(A+B)$ となります。

和と差の積の公式 $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ を適用すると、次のようになります。

$(a-2b-\frac{1}{2}c)(a+2b+\frac{1}{2}c) = a^2 - (2b+\frac{1}{2}c)^2$

次に、$(2b+\frac{1}{2}c)^2$ を展開します。

$(2b+\frac{1}{2}c)^2 = (2b)^2 + 2(2b)(\frac{1}{2}c) + (\frac{1}{2}c)^2 = 4b^2 + 2bc + \frac{1}{4}c^2$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$a^2 - (4b^2 + 2bc + \frac{1}{4}c^2) = a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$

3. 最終的な答え

$a^2 - 4b^2 - 2bc - \frac{1}{4}c^2$