底面の半径が 4cm、母線が 10cm の円錐について、次の2つの問いに答えます。 (1) 円錐の高さを求めます。 (2) 円錐の体積を求めます。

1. 問題の内容

底面の半径が 4cm、母線が 10cm の円錐について、次の2つの問いに答えます。

(1) 円錐の高さを求めます。

(2) 円錐の体積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の高さを求める

円錐の高さ $h$、底面の半径 $r$、母線 $l$ の間には三平方の定理が成り立ちます。

$h^2 + r^2 = l^2$

これに $r=4$、 $l=10$ を代入して、$h$ を求めます。

$h^2 + 4^2 = 10^2$

$h^2 + 16 = 100$

$h^2 = 100 - 16$

$h^2 = 84$

$h = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$

(2) 円錐の体積を求める

円錐の体積 $V$ は、底面積 $\pi r^2$ と高さ $h$ を用いて、次の式で表されます。

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$r=4$、 $h = 2\sqrt{21}$ を代入して、$V$ を求めます。

$V = \frac{1}{3} \pi (4^2) (2\sqrt{21})$

$V = \frac{1}{3} \pi (16)(2\sqrt{21})$

$V = \frac{32\sqrt{21}}{3} \pi$

3. 最終的な答え

(1) 円錐の高さ：$2\sqrt{21}$ cm

(2) 円錐の体積：$\frac{32\sqrt{21}}{3}\pi$ cm$^3$