実数 $a$, $b$ が $a^2 - ab + b^2 = 12$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (a) $a$ の最大値と最小値を求める。 (b) $3a + b = k$ としたとき、$k$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ が $a^2 - ab + b^2 = 12$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(a) $a$ の最大値と最小値を求める。

(b) $3a + b = k$ としたとき、$k$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(a) まず、$a^2 - ab + b^2 = 12$ を $b$ について解く。$b$ の2次方程式と見て、解の公式を用いる。

$b^2 - ab + a^2 - 12 = 0$

$b = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4(a^2 - 12)}}{2} = \frac{a \pm \sqrt{48 - 3a^2}}{2}$

$b$ が実数である条件は、根号の中身が0以上であること。

$48 - 3a^2 \ge 0$

$3a^2 \le 48$

$a^2 \le 16$

$-4 \le a \le 4$

したがって、$a$ の最大値は4、最小値は-4である。

$a$ が最大値4をとるとき、$b = \frac{4 \pm \sqrt{48 - 3 \cdot 16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2$

したがって、$a=4$ のとき、$b = 2$

(b) $3a + b = k$ より $b = k - 3a$ であるから、これを $a^2 - ab + b^2 = 12$ に代入する。

$a^2 - a(k-3a) + (k-3a)^2 = 12$

$a^2 - ak + 3a^2 + k^2 - 6ak + 9a^2 = 12$

$13a^2 - 7ak + k^2 - 12 = 0$

$a$ が実数であるための条件は、この $a$ の2次方程式の判別式が0以上であること。

$D = (-7k)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (k^2 - 12) \ge 0$

$49k^2 - 52k^2 + 624 \ge 0$

$-3k^2 + 624 \ge 0$

$3k^2 \le 624$

$k^2 \le 208$

$-\sqrt{208} \le k \le \sqrt{208}$

$-4\sqrt{13} \le k \le 4\sqrt{13}$

したがって、$k$ の最大値は $4\sqrt{13}$、最小値は $-4\sqrt{13}$ である。

$k$ が最大値 $4\sqrt{13}$ をとるとき、$13a^2 - 7(4\sqrt{13})a + (4\sqrt{13})^2 - 12 = 0$

$13a^2 - 28\sqrt{13}a + 208 - 12 = 0$

$13a^2 - 28\sqrt{13}a + 196 = 0$

$( \sqrt{13} a - 14 )^2 = 0$

$\sqrt{13} a = 14$

$a = \frac{14}{\sqrt{13}} = \frac{14\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

(a) $a$ の最大値：4、最小値：-4

$a$ が最大値をとるとき、$b = 2$

(b) $k$ の最大値：$4\sqrt{13}$、最小値：$-4\sqrt{13}$

$k$ が最大値をとるとき、$a = \frac{14\sqrt{13}}{13}$