底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDがある。底面の正方形の対角線の交点をHとするとき、正四角錐O-ABCDの体積を求める。

1. 問題の内容

底面が1辺4cmの正方形で、他の辺が5cmである正四角錐O-ABCDがある。底面の正方形の対角線の交点をHとするとき、正四角錐O-ABCDの体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、正方形ABCDの対角線ACの長さを求める。正方形の一辺が4cmなので、三平方の定理より

$AC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm。

Hは対角線の交点なので、$AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ cm。

次に、正四角錐の高さOHを求める。三角形OAHは直角三角形なので、三平方の定理より

$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 5^2 - (2\sqrt{2})^2 = 25 - 8 = 17$。

したがって、$OH = \sqrt{17}$ cm。

正四角錐の体積は、底面積 × 高さ × (1/3)で求められる。

底面積は$4 \times 4 = 16$ cm$^2$。

体積は $\frac{1}{3} \times 16 \times \sqrt{17} = \frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$。

3. 最終的な答え

$\frac{16\sqrt{17}}{3}$ cm$^3$