$(\frac{1}{6})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位で初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$(\frac{1}{6})^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位で初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

求める位を $n$ とします。 $(\frac{1}{6})^{10}$ が小数第 $n$ 位で初めて0でない数字が現れるということは、

$10^{-n+1} > (\frac{1}{6})^{10} > 10^{-n}$ が成り立つということです。

この不等式を $\log_{10}$ で評価することを考えます。

まず $(\frac{1}{6})^{10}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} (\frac{1}{6})^{10} = 10 \log_{10} \frac{1}{6} = 10 \log_{10} 6^{-1} = -10 \log_{10} 6$

ここで、$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

したがって、$\log_{10} (\frac{1}{6})^{10} = -10 \times 0.7781 = -7.781$

小数第 $n$ 位で初めて0でない数字が現れるということは、

$-n+1 > \log_{10} (\frac{1}{6})^{10} > -n$ が成り立つので、

$-n+1 > -7.781 > -n$

$n-1 < 7.781 < n$

この不等式を満たす整数 $n$ は $n = 8$ です。

3. 最終的な答え

小数第8位