与えられた数式の値を計算します。 与えられた数式は $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ です。

代数学式の計算有理化平方根
2025/8/11

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。
与えられた数式は
535+3+5+353\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}
です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
535+3=(53)(53)(5+3)(53)=(53)253=5215+32=82152=415\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8-2\sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}
5+353=(5+3)(5+3)(53)(5+3)=(5+3)253=5+215+32=8+2152=4+15\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3} = \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8+2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15}
したがって、
535+3+5+353=(415)+(4+15)=415+4+15=8\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = (4-\sqrt{15}) + (4+\sqrt{15}) = 4 - \sqrt{15} + 4 + \sqrt{15} = 8

3. 最終的な答え

8

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