全体集合$U$を1以上100以下の整数の集合とする。$U$の部分集合$A$, $B$, $C$をそれぞれ2の倍数の集合、3の倍数の集合、5の倍数の集合とする。このとき、集合$A \cup B \cup \overline{C}$の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1以上100以下の整数の集合とする。$U$の部分集合$A$, $B$, $C$をそれぞれ2の倍数の集合、3の倍数の集合、5の倍数の集合とする。このとき、集合$A \cup B \cup \overline{C}$の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$, $B$, $C$の要素の個数を求める。

$|A| = \left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor = 50$

$|B| = \left\lfloor \frac{100}{3} \right\rfloor = 33$

$|C| = \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20$

次に、$A \cap B$, $B \cap C$, $C \cap A$の要素の個数を求める。

$A \cap B$は2の倍数かつ3の倍数なので、6の倍数の集合である。

$|A \cap B| = \left\lfloor \frac{100}{6} \right\rfloor = 16$

$B \cap C$は3の倍数かつ5の倍数なので、15の倍数の集合である。

$|B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{15} \right\rfloor = 6$

$C \cap A$は5の倍数かつ2の倍数なので、10の倍数の集合である。

$|C \cap A| = \left\lfloor \frac{100}{10} \right\rfloor = 10$

さらに、$A \cap B \cap C$の要素の個数を求める。

$A \cap B \cap C$は2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数なので、30の倍数の集合である。

$|A \cap B \cap C| = \left\lfloor \frac{100}{30} \right\rfloor = 3$

包除原理より、$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$となる。

$|A \cup B| = 50 + 33 - 16 = 67$

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

$|A \cup B \cup C| = 50 + 33 + 20 - 16 - 6 - 10 + 3 = 74$

$\overline{C}$は$C$の補集合なので、$| \overline{C} | = |U| - |C|$となる。

$| \overline{C} | = 100 - 20 = 80$

ここで、$A \cup B \cup \overline{C} = U - (\overline{A \cup B} \cap C) = U - (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$となる。

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |A \cup B| + |\overline{C}| - |(A \cup B) \cap \overline{C}| = |A| + |B| - |A \cap B| + |U| - |C| - |(A \cup B) \cap \overline{C}|$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |U| - |\overline{A \cup B} \cap C| = |U| - |\overline{A} \cap \overline{B} \cap C|$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |U| - |(\overline{A} \cap C) \cap (\overline{B} \cap C)| = |U| - |(C \setminus A) \cap (C \setminus B)|$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = |U| - |\overline{A} \cap \overline{B} \cap C| = |U| - |C \setminus (A \cup B)|$

$C$の中で、$A \cup B$に含まれるものの個数を求める。

$C \cap (A \cup B) = (C \cap A) \cup (C \cap B)$

$|(C \cap A) \cup (C \cap B)| = |C \cap A| + |C \cap B| - |C \cap A \cap B|$

$|(C \cap A) \cup (C \cap B)| = 10 + 6 - 3 = 13$

$|C \setminus (A \cup B)| = |C| - |(C \cap A) \cup (C \cap B)| = 20 - 13 = 7$

$|A \cup B \cup \overline{C}| = 100 - 7 = 93$

3. 最終的な答え

93