数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ で定義されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表しなさい。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めなさい。 (3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ で定義されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表しなさい。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めなさい。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}$ です。$a_{n+1} = 3a_n + 2^n$ を代入すると、

$b_{n+1} = \frac{3a_n + 2^n}{2^{n+1}} = \frac{3a_n}{2^{n+1}} + \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{3}{2} \frac{a_n}{2^n} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

(2) $b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$ を変形します。

$b_{n+1} + \alpha = \frac{3}{2} (b_n + \alpha)$ となる $\alpha$ を求めると、

$\alpha = \frac{3}{2} \alpha + \frac{1}{2}$ より、$-\frac{1}{2}\alpha = \frac{1}{2}$なので、$\alpha = -1$ です。

したがって、$b_{n+1} - 1 = \frac{3}{2} (b_n - 1)$ となります。

数列 $\{b_n - 1\}$ は公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列です。

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{1}{2}$ なので、$b_1 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ です。

よって、$b_n - 1 = -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1}$ となります。

したがって、$b_n = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{n-1} = 1 - \frac{3^{n-1}}{2^n}$ となります。

(3) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$ です。

$b_n = 1 - \frac{3^{n-1}}{2^n}$ を代入すると、$a_n = 2^n \left( 1 - \frac{3^{n-1}}{2^n} \right) = 2^n - 3^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = \frac{3}{2} b_n + \frac{1}{2}$

(2) $b_n = 1 - \frac{3^{n-1}}{2^n}$

(3) $a_n = 2^n - 3^{n-1}$