赤球3個、白球5個が入った袋から、3個の球を同時に取り出すとき、出る赤球の個数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。与えられた確率分布表を埋める問題です。

1. 問題の内容

赤球3個、白球5個が入った袋から、3個の球を同時に取り出すとき、出る赤球の個数をXとする。確率変数Xの確率分布を求める。与えられた確率分布表を埋める問題です。

2. 解き方の手順

全事象は、8個の球から3個を取り出す組み合わせなので、

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

X=0の場合、3個とも白球を取り出す。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

よって、P(X=0) = $\frac{10}{56}$

X=1の場合、赤球1個、白球2個を取り出す。

$_{3}C_{1} \times _{5}C_{2} = 3 \times \frac{5!}{2!3!} = 3 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 3 \times 10 = 30$通り。

よって、P(X=1) = $\frac{30}{56}$

X=2の場合、赤球2個、白球1個を取り出す。

$_{3}C_{2} \times _{5}C_{1} = \frac{3!}{2!1!} \times 5 = 3 \times 5 = 15$通り。

よって、P(X=2) = $\frac{15}{56}$

X=3の場合、赤球3個を取り出す。

$_{3}C_{3} = 1$通り。

よって、P(X=3) = $\frac{1}{56}$ (すでに表に記載)

したがって、確率分布表は以下のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 計 |

|---|-----|-----|-----|-----|----|

| P | 10/56 | 30/56 | 15/56 | 1/56 | 1 |

ア: 10

イ: 56

ウ: 30

エ: 15

3. 最終的な答え

ア: 10

イ: 56

ウ: 30

エ: 15