問題1：2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の2乗の和が10以下となる確率を求めます。 問題2：1から7までの数字が書かれた7枚のカードを1列に並べるとき、以下の確率をそれぞれ求めます。 (1) 3の倍数が隣り合う確率 (2) 偶数と奇数が交互に並ぶ確率 (3) 偶数が両端に並ぶ確率

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1：2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の2乗の和が10以下となる確率を求めます。

問題2：1から7までの数字が書かれた7枚のカードを1列に並べるとき、以下の確率をそれぞれ求めます。

(1) 3の倍数が隣り合う確率

(2) 偶数と奇数が交互に並ぶ確率

(3) 偶数が両端に並ぶ確率

2. 解き方の手順

問題1：

2つのサイコロの目をそれぞれ $x$, $y$ とすると、$x^2 + y^2 \le 10$となる組み合わせを考えます。

$x, y$ は1から6までの整数です。

可能な組み合わせは以下の通りです：

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

これ以外に、

(1, 1) = 1 + 1 = 2 <= 10

(1, 2) = 1 + 4 = 5 <= 10

(1, 3) = 1 + 9 = 10 <= 10

(2, 1) = 4 + 1 = 5 <= 10

(2, 2) = 4 + 4 = 8 <= 10

(2, 3) = 4 + 9 = 13 > 10

(3, 1) = 9 + 1 = 10 <= 10

(3, 2) = 9 + 4 = 13 > 10

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)

$x$ と $y$ を入れ替えても良いので、組み合わせは、

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)の6通り。

2つのサイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあるので、確率は $\frac{6}{36}$です。

問題2：

まず、1から7の数字のうち、偶数は2, 4, 6の3つ、奇数は1, 3, 5, 7の4つです。

全並べ方は $7! = 5040$ 通りです。

(1) 3の倍数は3と6の2つです。

3と6をまとめて一つのものとして考えると、並べ方は6!通り。3と6の並び方は2!通り。

よって、3の倍数が隣り合う並べ方は $6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ 通り。

確率は $\frac{1440}{5040} = \frac{144}{504} = \frac{2}{7}$です。

(2) 偶数と奇数が交互に並ぶためには、奇数が最初に来る必要があります。

奇偶奇偶奇偶奇という並び方のみ可能です。

奇数の並び方は4!通り、偶数の並び方は3!通りなので、$4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$通り。

確率は $\frac{144}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$です。

(3) 偶数が両端に並ぶ場合、両端の偶数の並び方は $3 \times 2 = 6$ 通り。

残りの5つの数字の並び方は5!通り。

よって、偶数が両端に並ぶ並び方は $6 \times 5! = 6 \times 120 = 720$通り。

確率は $\frac{720}{5040} = \frac{72}{504} = \frac{1}{7}$です。

3. 最終的な答え

問題1：$\frac{1}{6}$

問題2：

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{1}{35}$

(3) $\frac{1}{7}$