座標平面上に2点 $A(4, 1)$, $B(1, 2)$ がある。 (1) 線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める。 (2) 第1象限に中心があり、2点 $A, B$ を通り、直線 $4x - 3y + 27 = 0$ に接する円 $C_1$ の方程式を求める。 (3) (2) のとき、直線 $AB$ に関して円 $C_1$ と対称な円を $C_2$ とし、$C_1$ 上を動く点を $P$, $C_2$ 上を動く点を $Q$ とする。2点 $P, Q$ 間の距離の最大値を求め、そのときの点 $P, Q$ の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $A(4, 1)$, $B(1, 2)$ がある。

(1) 線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める。

(2) 第1象限に中心があり、2点 $A, B$ を通り、直線 $4x - 3y + 27 = 0$ に接する円 $C_1$ の方程式を求める。

(3) (2) のとき、直線 $AB$ に関して円 $C_1$ と対称な円を $C_2$ とし、$C_1$ 上を動く点を $P$, $C_2$ 上を動く点を $Q$ とする。2点 $P, Q$ 間の距離の最大値を求め、そのときの点 $P, Q$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ の中点 $M$ は $(\frac{4+1}{2}, \frac{1+2}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ である。

線分 $AB$ の傾きは $\frac{2-1}{1-4} = -\frac{1}{3}$ である。

よって、線分 $AB$ の垂直二等分線の傾きは $3$ である。

したがって、線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式は

$y - \frac{3}{2} = 3(x - \frac{5}{2})$

$y = 3x - \frac{15}{2} + \frac{3}{2}$

$y = 3x - 6$

$3x - y - 6 = 0$

(2) 円 $C_1$ の中心を $(a, b)$ とおく。条件より、中心は第1象限にあるので、$a > 0$, $b > 0$ である。

また、中心は線分 $AB$ の垂直二等分線上にあるので、$3a - b - 6 = 0$ より $b = 3a - 6$。

よって、中心は $(a, 3a - 6)$ と表せる。

円 $C_1$ は点 $A(4, 1)$ を通るので、円の半径 $r$ は

$r^2 = (a - 4)^2 + (3a - 6 - 1)^2 = (a - 4)^2 + (3a - 7)^2 = a^2 - 8a + 16 + 9a^2 - 42a + 49 = 10a^2 - 50a + 65$

円 $C_1$ は直線 $4x - 3y + 27 = 0$ に接するので、中心 $(a, 3a - 6)$ と直線 $4x - 3y + 27 = 0$ との距離は $r$ に等しい。

$\frac{|4a - 3(3a - 6) + 27|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = r$

$\frac{|4a - 9a + 18 + 27|}{5} = r$

$\frac{|-5a + 45|}{5} = r$

$|-a + 9| = r$

$r^2 = (-a + 9)^2 = a^2 - 18a + 81$

$10a^2 - 50a + 65 = a^2 - 18a + 81$

$9a^2 - 32a - 16 = 0$

$(a - 4)(9a + 4) = 0$

$a = 4$ または $a = -\frac{4}{9}$

$a > 0$ より $a = 4$。すると $b = 3a - 6 = 3(4) - 6 = 6$。よって、円の中心は $(4, 6)$。

$r^2 = (4 - 4)^2 + (6 - 1)^2 = 0^2 + 5^2 = 25$ より $r = 5$

したがって、円 $C_1$ の方程式は $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$

(3) 円 $C_2$ の中心は直線 $AB$ に関して円 $C_1$ と対称なので、円 $C_2$ の中心は $(6, 4)$ である。また、円 $C_2$ の半径は $5$ である。

したがって、円 $C_2$ の方程式は $(x - 6)^2 + (y - 4)^2 = 25$ である。

2点 $P, Q$ 間の距離が最大となるのは、$P, Q$ がそれぞれ円の中心を結ぶ直線上にあり、中心に関して反対側に位置するときである。

円 $C_1$ と $C_2$ の中心間の距離は $\sqrt{(6 - 4)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ である。

2点 $P, Q$ 間の距離の最大値は $5 + 2\sqrt{2} + 5 = 10 + 2\sqrt{2}$ である。

円 $C_1$ の中心 $(4, 6)$ から円 $C_2$ の中心 $(6, 4)$ へのベクトルは $(2, -2)$ である。

単位ベクトルは $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。

点 $P$ の座標は $(4 - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 6 + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (4 - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 6 + \frac{5\sqrt{2}}{2})$。

点 $Q$ の座標は $(6 + 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 4 - 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (6 + \frac{5\sqrt{2}}{2}, 4 - \frac{5\sqrt{2}}{2})$。

3. 最終的な答え

(1) $3x - y - 6 = 0$

(2) $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$

(3) 2点 $P, Q$ 間の距離の最大値: $10 + 2\sqrt{2}$

　　そのときの点 $P$ の座標: $(4 - \frac{5\sqrt{2}}{2}, 6 + \frac{5\sqrt{2}}{2})$

　　そのときの点 $Q$ の座標: $(6 + \frac{5\sqrt{2}}{2}, 4 - \frac{5\sqrt{2}}{2})$