ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は直交する単位ベクトルである。$\vec{c} = 2\vec{a}$、$\vec{d} = k\vec{b}$ とおく。ただし、$k$ は実数とする。 (1) このとき、$\vec{c} + \vec{d}$ の大きさを $k$ を用いて表す。 (2) また、2つのベクトル $\vec{c} + \vec{d}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ のなす角が 60°であるとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は直交する単位ベクトルである。$\vec{c} = 2\vec{a}$、$\vec{d} = k\vec{b}$ とおく。ただし、$k$ は実数とする。

(1) このとき、$\vec{c} + \vec{d}$ の大きさを $k$ を用いて表す。

(2) また、2つのベクトル $\vec{c} + \vec{d}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ のなす角が 60°であるとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} + \vec{d}$ の大きさを求める。

$|\vec{c} + \vec{d}|^2 = (\vec{c} + \vec{d}) \cdot (\vec{c} + \vec{d}) = \vec{c} \cdot \vec{c} + 2 \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{d}$

$\vec{c} = 2\vec{a}$、$\vec{d} = k\vec{b}$ なので、

$|\vec{c} + \vec{d}|^2 = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) + 2(2\vec{a}) \cdot (k\vec{b}) + (k\vec{b}) \cdot (k\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 4k (\vec{a} \cdot \vec{b}) + k^2 |\vec{b}|^2$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は直交するので、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は単位ベクトルなので、$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$。

したがって、

$|\vec{c} + \vec{d}|^2 = 4(1)^2 + 4k(0) + k^2(1)^2 = 4 + k^2$

$|\vec{c} + \vec{d}| = \sqrt{4 + k^2}$

(2) $\vec{c} + \vec{d}$ と $\vec{a} + \vec{b}$ のなす角が 60°であるとき、$k$ の値を求める。

$\cos 60^\circ = \frac{(\vec{c} + \vec{d}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{c} + \vec{d}| |\vec{a} + \vec{b}|}$

$\frac{1}{2} = \frac{(2\vec{a} + k\vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{\sqrt{4 + k^2} \sqrt{|\vec{a} + \vec{b}|^2}}$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 1^2 + 2(0) + 1^2 = 2$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{2\vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + k\vec{b} \cdot \vec{a} + k\vec{b} \cdot \vec{b}}{\sqrt{4 + k^2} \sqrt{2}} = \frac{2(1) + 2(0) + k(0) + k(1)}{\sqrt{4 + k^2} \sqrt{2}} = \frac{2 + k}{\sqrt{2}\sqrt{4 + k^2}}$

$\sqrt{2}\sqrt{4 + k^2} = 2(2 + k)$

$2(4 + k^2) = 4(4 + 4k + k^2)$

$8 + 2k^2 = 16 + 16k + 4k^2$

$2k^2 + 16k + 8 = 0$

$k^2 + 8k + 4 = 0$

$k = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\vec{c} + \vec{d}$ の大きさを $k$ を用いて表すと $\sqrt{4 + k^2}$ である。

$k$ の値は $-4 + 2\sqrt{3}$ と $-4 - 2\sqrt{3}$ である。