底面の半径が4cm、母線が10cmの円錐がある。この円錐の高さと体積をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が4cm、母線が10cmの円錐がある。この円錐の高さと体積をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円錐の高さを求める。

円錐の高さ、底面の半径、母線は直角三角形を構成する。円錐の高さを$h$とすると、三平方の定理より、

$h^2 + 4^2 = 10^2$

$h^2 + 16 = 100$

$h^2 = 84$

$h = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21}$

したがって、円錐の高さは$2\sqrt{21}$cmである。

(2) 円錐の体積を求める。

円錐の体積$V$は、底面積$\times$高さ$\times \frac{1}{3}$で求められる。

底面積は$\pi r^2$で与えられ、$r=4$なので、底面積は$16\pi$である。

高さは(1)で求めたように$2\sqrt{21}$である。

したがって、円錐の体積は、

$V = \frac{1}{3} \times 16\pi \times 2\sqrt{21} = \frac{32\sqrt{21}}{3}\pi$

円錐の体積は$\frac{32\sqrt{21}}{3}\pi \text{ cm}^3$である。

3. 最終的な答え

(1) 円錐の高さ: $2\sqrt{21}$ cm

(2) 円錐の体積: $\frac{32\sqrt{21}}{3}\pi \text{ cm}^3$