## 問題の概要

## 問題の概要

問題４は、2次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + b$ が与えられており、$y = f(x)$ のグラフが点 $(1, 8)$ を通るという条件の下で、以下の３つの問いに答える問題です。ただし、$a, b$ は実数の定数で、$a > 0$ とします。

(1) $b$ を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフの頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるとき、$a$ の値を求める。

(3) (2) のとき、負の定数 $p$ について、$p \le x \le 0$ における関数 $f(x)$ の最大値と最小値の差が $-2p$ となるような $p$ の値を求める。

## 解き方の手順

(1) $b$ を $a$ で表す

$y = f(x)$ のグラフが点 $(1, 8)$ を通るので、$f(1) = 8$ が成り立ちます。

$f(1) = 1^2 + 2a(1) + b = 1 + 2a + b$

よって、

$1 + 2a + b = 8$

$b = 7 - 2a$

(2) $a$ の値を求める

$f(x) = x^2 + 2ax + b = x^2 + 2ax + (7 - 2a)$

平方完成すると、

$f(x) = (x + a)^2 - a^2 + 7 - 2a$

したがって、頂点の座標は $(-a, -a^2 - 2a + 7)$ です。

頂点が直線 $y = x + 1$ 上にあるので、

$-a^2 - 2a + 7 = -a + 1$

$a^2 + a - 6 = 0$

$(a + 3)(a - 2) = 0$

$a = -3, 2$

$a > 0$ より、$a = 2$

(3) $p$ の値を求める

$a = 2$ のとき、$f(x) = x^2 + 4x + 3$

$f(x) = (x + 2)^2 - 1$

頂点の座標は $(-2, -1)$ です。

$p \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $-2$ なので、この範囲に含まれます。

よって、$x = -2$ で最小値 $-1$ をとります。

$f(0) = 3$

$f(p) = p^2 + 4p + 3$

$p \le x \le 0$ における最大値は $x = 0$ のときの $f(0) = 3$ です。

最大値と最小値の差は $3 - (-1) = 4$ です。

問題文より、最大値と最小値の差が $-2p$ となるので、

$4 = -2p$

$p = -2$

## 最終的な答え

(1) $b = 7 - 2a$

(2) $a = 2$

(3) $p = -2$