$a$を正の定数とするとき、不等式$|x-2| < a$を満たす整数$x$の個数がちょうど6個となるような$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の定数とするとき、不等式$|x-2| < a$を満たす整数$x$の個数がちょうど6個となるような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式$|x-2| < a$を解きます。絶対値の定義から、

$-a < x-2 < a$

この不等式に2を加えると、

$2-a < x < 2+a$

となります。

この範囲に含まれる整数$x$の個数が6個であることから、$x$は連続する6個の整数となります。

$x$の範囲は $2-a < x < 2+a$ ですから、この範囲の中央は $x=2$ 付近になります。

$x$ が整数であることに注意すると、6個の整数は、

$2-2=0$, $2-1=1$, $2$, $2+1=3$, $2+2=4$, $2+3=5$

というように，$2$ の両側に $3$ 個ずつ並ぶ形になります。

したがって、$x$ の範囲は

$2-3= -1, 0, 1, 2, 3, 4$

または

$1, 2, 3, 4, 5, 6$

のように連続する6個の整数となります。

$2-a < x < 2+a$ に含まれる整数がちょうど6個であるためには、

$2-a$ の値が -2 以上 -1未満でなければなりません。

$2-a < -1$ より $a > 3$

$2-a \geq -2$ より $a \leq 4$

したがって、$3 < a \leq 4$。

また、$2+a$ の値は 5 以上 6 未満でなければなりません。

$2+a > 5$ より $a > 3$

$2+a \leq 6$ より $a \leq 4$

したがって、$3 < a \leq 4$。

同様に考えると、$2-a < x < 2+a$の整数解が$x = n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$となるためには、$n$を整数として

$n-1 \le 2-a < n$

$n+5 < 2+a \le n+6$

が成立する必要があります。

このとき、$2-a < x < 2+a$ に含まれる整数$x$の個数がちょうど6個となるためには、

$2-a$ は整数ではなく、$2+a$ も整数ではない必要があります。

具体的に整数値を代入して確認してみます。

もし $2-a = -2$ の場合、整数解は$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4$となり、6個です。このとき$a = 4$ です。

もし $2-a = -1$ の場合、整数解は$x = 0, 1, 2, 3, 4$となり、5個です。

$2-a > -2$ を満たす最小の整数を考えると、$2-a \geq -1$ が成り立ち、$a \leq 3$となります。

この範囲では、整数解の個数が6個にはなりません。

$2+a < 6$より、$a < 4$

$2+a \geq 5$より、$a \geq 3$

したがって、求める $a$ の範囲は、$3 < a \leq 4$となります。

3. 最終的な答え

$3 < a \leq 4$