2次関数 $y = (a+2)x^2 + 2ax + 4$ のグラフが、$y = 3$ より上側にあるように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。つまり、$y = (a+2)x^2 + 2ax + 4 > 3$ がすべての $x$ で成り立つような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = (a+2)x^2 + 2ax + 4$ のグラフが、$y = 3$ より上側にあるように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。つまり、$y = (a+2)x^2 + 2ax + 4 > 3$ がすべての $x$ で成り立つような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y > 3$ という条件を式にすると、

$(a+2)x^2 + 2ax + 4 > 3$

$(a+2)x^2 + 2ax + 1 > 0$

となります。

この不等式がすべての実数 $x$ で成立するためには、以下の2つの条件が必要です。

(1) $x^2$ の係数が正であること：

$a+2 > 0$

$a > -2$

(2) 判別式 $D$ が負であること：

$D = (2a)^2 - 4(a+2)(1) < 0$

$4a^2 - 4(a+2) < 0$

$a^2 - (a+2) < 0$

$a^2 - a - 2 < 0$

$(a-2)(a+1) < 0$

$-1 < a < 2$

(1)と(2)の条件を同時に満たす $a$ の範囲を求めます。

$a > -2$ かつ $-1 < a < 2$

よって、$-1 < a < 2$

3. 最終的な答え

$-1 < a < 2$