袋の中に赤球が3個、白球が5個入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した赤球の個数をXとする。確率 $P(X \ge 2)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が3個、白球が5個入っている。この袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した赤球の個数をXとする。確率 $P(X \ge 2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、3個の球を取り出すすべての組み合わせの数を求める。これは8個から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

次に、$X \ge 2$ となる確率を求める。これは、$X = 2$ または $X = 3$ となる場合を考える。

$X = 2$ の場合、赤球が2個、白球が1個となる。赤球2個の選び方は $_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り。白球1個の選び方は $_{5}C_{1} = 5$ 通り。よって、$X = 2$ となる組み合わせは $3 \times 5 = 15$ 通り。

$X = 3$ の場合、赤球が3個、白球が0個となる。赤球3個の選び方は $_{3}C_{3} = 1$ 通り。白球0個の選び方は $_{5}C_{0} = 1$ 通り。よって、$X = 3$ となる組み合わせは $1 \times 1 = 1$ 通り。

したがって、$X \ge 2$ となる組み合わせは $15 + 1 = 16$ 通り。

したがって、求める確率 $P(X \ge 2)$ は、

$P(X \ge 2) = \frac{16}{56} = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

$P(X \ge 2) = \frac{2}{7}$