三角形の3辺の長さ $a=2$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{3}+1$ が与えられたとき，角Aの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形の3辺の長さ $a=2$, $b=\sqrt{2}$, $c=\sqrt{3}+1$ が与えられたとき，角Aの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Aの余弦を求めます。

余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

この式を $\cos A$ について解くと、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入します。

$\cos A = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3}+1)^2 - 2^2}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$\cos A = \frac{2 + (3 + 2\sqrt{3} + 1) - 4}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$\cos A = \frac{2 + 3 + 2\sqrt{3} + 1 - 4}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$\cos A = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$\cos A = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}$

$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす角Aは、 $A = 45^{\circ}$ です。

3. 最終的な答え

$A = 45^{\circ}$