長方形ABCDの中に、一辺の長さが2cmの正方形ABFE、EFHG、GHCDが並んでいる。点Iは線分AHと線分DFの交点、点Jは線分ACと線分DFの交点である。このとき、三角形AIJの面積を求める問題である。

1. 問題の内容

長方形ABCDの中に、一辺の長さが2cmの正方形ABFE、EFHG、GHCDが並んでいる。点Iは線分AHと線分DFの交点、点Jは線分ACと線分DFの交点である。このとき、三角形AIJの面積を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず座標を設定する。

A(0, 2), B(0, 0), C(6, 0), D(6, 2), E(2, 2), F(2, 0), G(4, 2), H(4, 0)とする。

直線AHの式を求める。

傾きは $\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}$ なので、AHの式は $y = -\frac{1}{2}x + 2$

直線DFの式を求める。

傾きは $\frac{0 - 2}{2 - 6} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ なので、DFの式は $y = \frac{1}{2}x - 1$

点IはAHとDFの交点なので、連立方程式を解く。

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

$y = \frac{1}{2}x - 1$

$-\frac{1}{2}x + 2 = \frac{1}{2}x - 1$

$3 = x$

$y = \frac{1}{2} \times 3 - 1 = \frac{1}{2}$

I(3, $\frac{1}{2}$)

直線ACの式を求める。

傾きは $\frac{0 - 2}{6 - 0} = -\frac{1}{3}$ なので、ACの式は $y = -\frac{1}{3}x + 2$

点JはACとDFの交点なので、連立方程式を解く。

$y = -\frac{1}{3}x + 2$

$y = \frac{1}{2}x - 1$

$-\frac{1}{3}x + 2 = \frac{1}{2}x - 1$

$3 = \frac{5}{6}x$

$x = \frac{18}{5}$

$y = \frac{1}{2} \times \frac{18}{5} - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$

J($\frac{18}{5}$, $\frac{4}{5}$)

三角形AIJの面積を求める。

A(0, 2), I(3, $\frac{1}{2}$), J($\frac{18}{5}$, $\frac{4}{5}$)

面積 = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

= $\frac{1}{2} |0(\frac{1}{2} - \frac{4}{5}) + 3(\frac{4}{5} - 2) + \frac{18}{5}(2 - \frac{1}{2})|$

= $\frac{1}{2} |3(-\frac{6}{5}) + \frac{18}{5}(\frac{3}{2})|$

= $\frac{1}{2} |-\frac{18}{5} + \frac{27}{5}|$

= $\frac{1}{2} \times \frac{9}{5} = \frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{10}$ cm$^2$