次の8つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $25x^2 - 4y^2$ (2) $x^2y + 5xy - 6y$ (3) $3x^2 - 30x + 75$ (4) $x^2 - 2xy - 3y^2$ (5) $(x+1)^2 + 2(x+1) - 8$ (6) $(a+7)^2 - a - 7$ (7) $(x-y)^2 + 5(y-x) + 4$ (8) $(x-3)^2 + 5x - 15$

はい、承知いたしました。次の式を因数分解します。

1. 問題の内容

次の8つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $25x^2 - 4y^2$

(2) $x^2y + 5xy - 6y$

(3) $3x^2 - 30x + 75$

(4) $x^2 - 2xy - 3y^2$

(5) $(x+1)^2 + 2(x+1) - 8$

(6) $(a+7)^2 - a - 7$

(7) $(x-y)^2 + 5(y-x) + 4$

(8) $(x-3)^2 + 5x - 15$

2. 解き方の手順

(1) $25x^2 - 4y^2$

これは平方の差の形、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$25x^2 = (5x)^2$

$4y^2 = (2y)^2$

したがって、

$25x^2 - 4y^2 = (5x + 2y)(5x - 2y)$

(2) $x^2y + 5xy - 6y$

まず、$y$ で括り出します。

$x^2y + 5xy - 6y = y(x^2 + 5x - 6)$

次に、括弧の中を因数分解します。

$x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1)$

したがって、

$x^2y + 5xy - 6y = y(x+6)(x-1)$

(3) $3x^2 - 30x + 75$

まず、$3$ で括り出します。

$3x^2 - 30x + 75 = 3(x^2 - 10x + 25)$

次に、括弧の中を因数分解します。

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

したがって、

$3x^2 - 30x + 75 = 3(x-5)^2$

(4) $x^2 - 2xy - 3y^2$

これは $x$ についての二次式と見て因数分解します。

$x^2 - 2xy - 3y^2 = (x - 3y)(x + y)$

(5) $(x+1)^2 + 2(x+1) - 8$

$A = x+1$ と置くと、

$A^2 + 2A - 8$

これを因数分解すると、

$A^2 + 2A - 8 = (A+4)(A-2)$

$A$ を $x+1$ に戻すと、

$(x+1+4)(x+1-2) = (x+5)(x-1)$

したがって、

$(x+1)^2 + 2(x+1) - 8 = (x+5)(x-1)$

(6) $(a+7)^2 - a - 7$

$(a+7)^2 - a - 7 = (a+7)^2 - (a+7)$

$A = a+7$ と置くと、

$A^2 - A = A(A-1)$

$A$ を $a+7$ に戻すと、

$(a+7)(a+7-1) = (a+7)(a+6)$

したがって、

$(a+7)^2 - a - 7 = (a+7)(a+6)$

(7) $(x-y)^2 + 5(y-x) + 4$

$(x-y)^2 + 5(y-x) + 4 = (x-y)^2 - 5(x-y) + 4$

$A = x-y$ と置くと、

$A^2 - 5A + 4 = (A-1)(A-4)$

$A$ を $x-y$ に戻すと、

$(x-y-1)(x-y-4)$

したがって、

$(x-y)^2 + 5(y-x) + 4 = (x-y-1)(x-y-4)$

(8) $(x-3)^2 + 5x - 15$

$(x-3)^2 + 5x - 15 = (x-3)^2 + 5(x-3)$

$A = x-3$ と置くと、

$A^2 + 5A = A(A+5)$

$A$ を $x-3$ に戻すと、

$(x-3)(x-3+5) = (x-3)(x+2)$

したがって、

$(x-3)^2 + 5x - 15 = (x-3)(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(5x + 2y)(5x - 2y)$

(2) $y(x+6)(x-1)$

(3) $3(x-5)^2$

(4) $(x - 3y)(x + y)$

(5) $(x+5)(x-1)$

(6) $(a+7)(a+6)$

(7) $(x-y-1)(x-y-4)$

(8) $(x-3)(x+2)$