与えられた複素数の式を計算する問題です。具体的には以下の3つの式を計算します。 (1) $\left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)^2$ (2) $i + \frac{1}{i}$ (3) $i + i^2 + i^3 + i^4$

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算する問題です。具体的には以下の3つの式を計算します。

(1) $\left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)^2$

(2) $i + \frac{1}{i}$

(3) $i + i^2 + i^3 + i^4$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$を2乗します。

$\left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)^2 = \frac{(-1 + \sqrt{3}i)^2}{2^2} = \frac{(-1)^2 + 2(-1)(\sqrt{3}i) + (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{3}i + 3i^2}{4}$

$i^2 = -1$であるから、

$\frac{1 - 2\sqrt{3}i - 3}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$

(2)

$i + \frac{1}{i}$を計算します。$\frac{1}{i}$を計算するために、分母と分子に$i$の共役複素数$-i$をかけます。

$\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i$

したがって、

$i + \frac{1}{i} = i + (-i) = 0$

(3)

$i + i^2 + i^3 + i^4$を計算します。$i^2 = -1$, $i^3 = i^2 \cdot i = -i$, $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1)(-1) = 1$を用いて計算します。

$i + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = i - 1 - i + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$

(2) $0$

(3) $0$