$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 6x + 7$ ($ -4 \le x \le a$) の最小値が2であるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = x^2 - 6x + 7$ ($-4 \le x \le a$) の最小値が2であるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 9 + 7 = (x - 3)^2 - 2$

この2次関数の頂点は $(3, -2)$ です。下に凸の放物線であるため、定義域によって最小値の取り方が変わります。

場合分けをします。

(1) $a < 3$ のとき:

定義域 $-4 \le x \le a$ で、$x=3$ を含まないので、最小値は $x=a$ のときになります。

$y(a) = a^2 - 6a + 7 = 2$

$a^2 - 6a + 5 = 0$

$(a - 1)(a - 5) = 0$

$a = 1, 5$

$a < 3$ なので、$a = 1$

(2) $3 \le a$ のとき:

定義域 $-4 \le x \le a$ で、$x=3$ を含むので、最小値は頂点のy座標である -2 となります。問題文より最小値は2であるとあるので、この場合は条件を満たしません。最小値は-2なので不適。

(3) $-4 \le 3 \le a$のとき、最小値は$x=3$で-2となる。したがって、この条件は最小値が2という条件と矛盾する。

したがって、$a=1$が解の候補となります。 $a=1$のとき、$-4 \le x \le 1$であり、軸$x=3$を含まない。したがって最小値は$x=1$のときにとり、その値は$y = 1^2 - 6\times1 + 7 = 1-6+7 = 2$となり条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = 1$