$x+y = \sqrt{7}$、 $x-y = \sqrt{3}$ のとき、$\sqrt{x^2 - xy + y^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x+y = \sqrt{7}$、 $x-y = \sqrt{3}$ のとき、$\sqrt{x^2 - xy + y^2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = \sqrt{7}$と$x-y = \sqrt{3}$の連立方程式を解いて、$x$と$y$の値を求めます。

2つの式を足すと、

$2x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

2つの式を引き算すると、

$2y = \sqrt{7} - \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

次に、$x^2 - xy + y^2$の値を計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7 + 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2})^2 = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

$xy = (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、

$x^2 - xy + y^2 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} - 1 + \frac{5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{5 + \sqrt{21} - 2 + 5 - \sqrt{21}}{2} = \frac{8}{2} = 4$

最後に、$\sqrt{x^2 - xy + y^2}$ の値を計算します。

$\sqrt{x^2 - xy + y^2} = \sqrt{4} = 2$

3. 最終的な答え

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