2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき、2数 $\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解とする2次方程式を1つ求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき、2数 $\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解とする2次方程式を1つ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求めます。

$x^2 + 2x + 4 = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ なので、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 4$

次に、$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解とする2次方程式を $x^2 + ax + b = 0$ とおき、解と係数の関係を用いて、$a$ と $b$ を求めます。

$x^2 + ax + b = 0$ の解が $\alpha - 1$ と $\beta - 1$ なので、解と係数の関係より

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -a$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = b$

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2 - 2 = -4 = -a$

より、 $a = 4$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 4 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 = b$

より、$b = 7$

したがって、求める2次方程式は $x^2 + 4x + 7 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + 7 = 0$